如下圖，過曲線：上一點(diǎn)作曲線的切線交軸于點(diǎn)，又過作 軸的垂線交曲線于點(diǎn)，然后再過作曲線的切線交軸于點(diǎn)，又過作軸的垂線交曲線于點(diǎn)，，以此類推，過點(diǎn)的切線 與軸相交于點(diǎn)，再過點(diǎn)作軸的垂線交曲線于點(diǎn)（N）．
(1) 求、及數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2) 設(shè)曲線與切線及直線所圍成的圖形面積為，求的表達(dá)式； (3) 在滿足(2)的條件下, 若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：N.

(1) ，，；(2) ；(3)見解析.

解析試題分析：(1)利用導(dǎo)數(shù)求直線切線和切線的方程，從而易得的值，再得直線的方程，知點(diǎn)在直線上，所以，既得通項(xiàng)公式；(2)觀察圖形利用定積分求表達(dá)式；(3)分別求得及表達(dá)式，再用數(shù)學(xué)歸納法、二項(xiàng)式定理及導(dǎo)數(shù)的方法證明即可.
試題解析：(1) 由，設(shè)直線的斜率為，則.
∴直線的方程為.令，得，                       1分
∴， ∴. ∴.
∴直線的方程為.令，得.              2分
一般地，直線的方程為，
由于點(diǎn)在直線上，∴.                        3分
∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.∴.              4分
（2）
.                                                6分
（3）證明： ,  8分
∴，.
要證明，只要證明，即只要證明.       9分
證法1：（數(shù)學(xué)歸納法）
①當(dāng)時(shí)，顯然成立；
②假設(shè)時(shí)，成立，則當(dāng)時(shí)，，
而，
，，
時(shí)，也成立，由①②知不等式對(duì)一切都成立.          14分
證法2：
.
所以不等式對(duì)一切都成立.                14分
證法3:令,則

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝aex，g(x)＝lnx－lna，其中a為常數(shù)，e＝2.718…，且函數(shù)y＝f(x)和y＝g(x)的圖像在它們與坐標(biāo)軸交點(diǎn)處的切線互相平行．
(1)求常數(shù)a的值；(2)若存在x使不等式>成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(3)對(duì)于函數(shù)y＝f(x)和y＝g(x)公共定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x0，我們把|f(x0)－g(x0)|的值稱為兩函數(shù)在x0處的偏差．求證：函數(shù)y＝f(x)和y＝g(x)在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù).
(1) 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2) 當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象上的點(diǎn)都在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知.
（1）求的極值，并證明：若有；
（2）設(shè)，且，，證明：，
若，由上述結(jié)論猜想一個(gè)一般性結(jié)論（不需要證明）；
（3）證明：若，則.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意R，存在R，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)．
(1)若，，求函數(shù)的解析式；
(2)若，求實(shí)數(shù)的最大值；
(3)設(shè)函數(shù)，若，且，求函數(shù)在內(nèi)的最小值．(用表示)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)函數(shù)(其中).
(Ⅰ) 當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ) 當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，求的值；
（Ⅱ）求函數(shù)的極值；
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，若直線與曲線沒有公共點(diǎn)，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得極大值；當(dāng)時(shí)，取得極小值．
求、、的值;
求在處的切線方程．

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