Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{alnx+（x-c）^{2}，x≥c}\\{alnx-（x-c）^{2}，0＜x＜c}\end{array}\right.$（其中a＜0，c＞0）
（1）當(dāng)a=2c-2時(shí)，若f（x）≥$\frac{1}{4}$對(duì)任意x∈（c，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）的圖象在兩點(diǎn)P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f（x₂）處的切線分別為l₁、l₂，若x₁=$\sqrt{-\frac{a}{2}}$，x₂=c，且l₁丄l₂，求實(shí)數(shù)c的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由條件可得f（x）的減區(qū)間和增區(qū)間，可得f（x）在（c，+∞）上的最小值為f（1），f（x）≥$\frac{1}{4}$對(duì)任意x∈（c，+∞）恒成立，即為f（1）不小于$\frac{1}{4}$，解不等式，結(jié)合c＞0，即可得到a的范圍；
（2）由兩直線垂直的條件可切線的斜率之積為-1，由f′（c）=$\frac{a}{c}$，可得f′（$\sqrt{-\frac{a}{2}}$）=-$\frac{c}{a}$，討論當(dāng)$\sqrt{-\frac{a}{2}}$≥c時(shí)，當(dāng)$\sqrt{-\frac{a}{2}}$＜c時(shí)，求得f′（$\sqrt{-\frac{a}{2}}$），化簡(jiǎn)整理可得c關(guān)于a的函數(shù)，運(yùn)用換元法和導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，可得最小值．

解答 解：（1）當(dāng)x＞c，a=2c-2時(shí)，f（x）=alnx+（x-c）²的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=$\frac{a}{x}$+2（x-c）=$\frac{2（x-1）[x-（c-1）]}{x}$，
由a＜0，c＞0，且c=1+$\frac{a}{2}$，可得0＜c＜1，
當(dāng)x∈（c，1）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增．
即有f（x）在（c，+∞）上的最小值為f（1）=（1-c）²=$\frac{1}{4}$a²，
由f（x）≥$\frac{1}{4}$對(duì)任意x∈（c，+∞）恒成立，
可得$\frac{1}{4}$a²≥$\frac{1}{4}$，解得a≥1（舍去）或a≤-1，
又c=1+$\frac{a}{2}$＞0，可得a＞-2，
則a的取值范圍是（-2，-1]；
（2）由l₁丄l₂，可得f′（$\sqrt{-\frac{a}{2}}$）•f′（c）=-1，
由f′（c）=$\frac{a}{c}$，可得f′（$\sqrt{-\frac{a}{2}}$）=-$\frac{c}{a}$，
當(dāng)$\sqrt{-\frac{a}{2}}$≥c時(shí)，f′（$\sqrt{-\frac{a}{2}}$）=$\frac{2•（-\frac{a}{2}）-2c•\sqrt{-\frac{a}{2}}+a}{\sqrt{-\frac{a}{2}}}$=-2c=-$\frac{c}{a}$，
解得a=$\frac{1}{2}$，與a＜0矛盾；
當(dāng)$\sqrt{-\frac{a}{2}}$＜c時(shí)，f′（$\sqrt{-\frac{a}{2}}$）=$\frac{-2•（-\frac{a}{2}）+2c•\sqrt{-\frac{a}{2}}+a}{\sqrt{-\frac{a}{2}}}$=-$\sqrt{-8a}$+2c=-$\frac{c}{a}$，
可得c=$\frac{a\sqrt{-8a}}{2a+1}$，又a＜0，c＞0，可得2a+1＜0，
即a＜-$\frac{1}{2}$，令t=$\sqrt{-8a}$，則a=-$\frac{{t}^{2}}{8}$，t＞2，
即c=$\frac{-\frac{{t}^{2}}{8}•t}{1-\frac{{t}^{2}}{4}}$=$\frac{{t}^{3}}{2{t}^{2}-8}$，令g（t）=$\frac{{t}^{3}}{2{t}^{2}-8}$，g′（t）=$\frac{2{t}^{2}（{t}^{2}-12）}{（2{t}^{2}-8）^{2}}$，
當(dāng)t∈（2，2$\sqrt{3}$）時(shí)，g′（t）＜0，g（t）遞減；當(dāng)t∈（2$\sqrt{3}$，+∞）時(shí)，g′（t）＞0，g（t）遞增．
可得g（t）的最小值為g（2$\sqrt{3}$）=$\frac{24\sqrt{3}}{24-8}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
則c的最小值為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、最值，考查分類討論思想方法和轉(zhuǎn)化思想、化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．