Question

11．已知拋物線y²=4x的焦點為F，點A、B在拋物線上，且∠AFB=90°，弦AB中點M在準(zhǔn)線l上的射影為M₁，則$\frac{{|{M{M_1}}|}}{{|{AB}|}}$的最大值為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)|AF|=a、|BF|=b，由拋物線定義結(jié)合梯形的中位線定理，得2|MM₁|=|AQ|+|BP|=a+b．再由勾股定理得|AB|²=a²+b²，結(jié)合基本不等式求得|AB|的范圍，從而可得$\frac{{|{M{M_1}}|}}{{|{AB}|}}$的最大值．

解答 解：設(shè)|AF|=a，|BF|=b，A、B在準(zhǔn)線上的射影點分別為Q、P，連接AQ、BQ　　
由拋物線定義，得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中根據(jù)中位線定理，得2|MM₁|=|AQ|+|BP|=a+b．
由勾股定理得|AB|²=a²+b²，配方得|AB|²=（a+b）²-2ab，
又∵ab≤（$\frac{a+b}{2}$） ²，
∴（a+b）²-2ab≥（a+b）²-2×（$\frac{a+b}{2}$） ²=$\frac{1}{2}$（a+b）²
得到|AB|≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b）．
所以$\frac{{|{M{M_1}}|}}{{|{AB}|}}$≤$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即$\frac{{|{M{M_1}}|}}{{|{AB}|}}$的最大值為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
故答案為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

點評 本題給出拋物線的弦AB對焦點F所張的角為直角，求AB中點M到準(zhǔn)線的距離與AB比值的取值范圍，著重考查了拋物線的定義與簡單幾何性質(zhì)、梯形的中位線定理和基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．