Question

設f₁（x）=

2

1+x

，f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，且a_n=

fn(0)-1

fn(0)+2

，則a₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

分析：根據條件求出數列{a_n}是等比數列，然后根據等比數列的通項公式即可得到結論．

解答：解：∵f₁（x）=

2

1+x

，f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，
∴a_n=

fn(0)-1

fn(0)+2

=
∵f₁（0）=2，a1=

f1(0)-1

f1(0)+2

=

1

4

，
∴f_n+1（0）=f₁[f_n（0）]，
∴f_n+1（0）=f₁[f_n（0）]=

2

1+fn(0)

，
∴an+1=

fn+1(0)-1

fn+1(0)+2

=

2 1+fn(0) -1

2 1+fn(0) +2

=

1-fn(0)

4+2fn(0)

=-

1

2

an，
∴數列{a_n}是以

1

4

為首項，-

1

2

為公比的等比數列，
∴an=

1

4

•(-

1

2

)n-1，
∴a₂₀₁₄=

1

4

•(-

1

2

)2013=(-

1

2

)2015．
故答案為：（-

1

2

）²⁰¹⁵

點評：本題主要考查函數值的計算，利用條件構造數列，并證明數列是等比數列是解決本題的關鍵，考查學生的計算能力．