Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2-

1

2

與函數(shù)g（x）=alnx在點(diǎn)（1，0）處有公共的切線，設(shè)F（x）=f（x）-mg（x）（m≠0）．
（1）求a的值
（2）求F（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=

1

2

x2-

1

2

與函數(shù)g（x）=alnx在點(diǎn)（1，0）處有公共的切線，且f（1）=g（1）=0，說(shuō)明點(diǎn)（1，0）在兩條曲線上，把兩函數(shù)求導(dǎo)后根據(jù)在（1，0）處的導(dǎo)數(shù)值相等可得a的值；
（2）把f（x）與g（x）代入函數(shù)F（x）的解析式，然后求其導(dǎo)函數(shù)，分m＜0和m＞0判斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得F（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．其中當(dāng)m＞0時(shí)需要由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)區(qū)間[1，e]進(jìn)行分段．

解答：解：（1）因?yàn)閒（1）=

1

2

×12-

1

2

=0，g（1）=aln1=0，所以（1，0）在函數(shù)f（x），g（x）的圖象上
又f′(x)=x，g′(x)=

a

x

，所以f'（1）=1，g'（1）=a
所以a=1
（2）因?yàn)镕（x）=f（x）-mg（x），所以，F(x)=

1

2

x2-

1

2

-mlnx，其定義域?yàn)閧x|x＞0}F′(x)=x-

m

x

=

x2-m

x

當(dāng)m＜0時(shí)，F′(x)=x-

m

x

=

x2-m

x

＞0，
所以F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增
所以F（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，其最小值為F（1）=

1

2

×12-

1

2

-m•ln1=0．
當(dāng)m＞0時(shí)，令F′(x)=x-

m

x

=

x2-m

x

=0，得到x1=

m

＞0，x2=-

m

＜0（舍）
當(dāng)

m

≤1時(shí)，即0＜m≤1時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0對(duì)（1，e）恒成立，
所以F（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，其最小值為F（1）=0
當(dāng)

m

≥e時(shí)，即m≥e²時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0對(duì)（1，e）成立，
所以F（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，
其最小值為F(e)=

1

2

e2-

1

2

-m
當(dāng)1＜

m

＜e，即1＜m＜e²時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0對(duì)(1，

m

)成立，F(xiàn)'（x）＞0對(duì)(

m

，e)成立
所以F（x）在(1，

m

)單調(diào)遞減，在(

m

，e)上單調(diào)遞增
其最小值為F(

m

)=

1

2

m-

1

2

-mln

m

=

1

2

m-

1

2

-

m

2

lnm．
綜上，當(dāng)m≤1時(shí)，F(xiàn)（x）在[1，e]上的最小值為F（1）=0．
當(dāng)1＜m＜e²時(shí)，F(xiàn)（x）在[1，e]上的最小值為F(

m

)=

1

2

m-

1

2

-

m

2

lnm．
當(dāng)m≥e²時(shí)，F(xiàn)（x）在[1，e]上的最小值為F(e)=

1

2

e2-

1

2

-m．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，需要求函數(shù)在對(duì)應(yīng)開(kāi)區(qū)間上的極值與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，然后進(jìn)行大小比較．此題屬中檔題．