Question

（理）長度為1的動弦AB在拋物線y²=4x上滑動，AB中點到y(tǒng)軸距離的最小值為（　�。�

• A、

  1

  4

• B、

  1

  8

• C、

  1

  16

• D、不存在

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：設拋物線的準線為l，AB的中點為M，過A作AA₁⊥l于A₁，過B作BB₁⊥l于B₁，過M作MM₁⊥l于M₁，交x軸于N，又設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|MN|=|MM₁|-|M₁N|=

|AA1|+|BB1|

2

-1，問題轉化為求|AA₁|+|BB₁|的最小值，而|AA₁|+|BB₁|=x₁+x₂+2，可聯(lián)立直線AB：x=my+a與拋物線方程，得到x₁+x₂的表達式，再由|AB|=1得m與a的關系，根據(jù)此關系式可探求x₁+x₂的最小值，從而得到|MN|的最小值．

解答： 解：設拋物線的準線為l，弦AB的中點為M，
過A作AA₁⊥l于A₁，過B作BB₁⊥l于B₁，過M作MM₁⊥l于M₁，MM₁交x軸于N，如右圖所示．
又設直線AB的方程為 x=my+a，點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

y2=4x x=my+a

，消去x，得y²-4my-4a=0，且△=16m²+16a＞0，
由韋達定理得

y1+y2=4m y1•y2=-4a

，從而|AB|=

1+m2

•

(y1+y2)2-4y1y2

=4

(1+m2)(m2+a)

，
又|AB|=1，得4

(1+m2)(m2+a)

=1，兩邊平方，并整理得a=

1-16(m4+m2)

16(m2+1)

．…①
由梯形AA₁B₁B中位線的性質知，|MM₁|=

|AA1|+|BB1|

2

，
由于拋物線的準線方程為x=-1，所以|MN|=|MM₁|-|NM₁|=

|AA1|+|BB1|

2

-1，…②
要使AB中點到x軸的距離最小，即|MN|最小，只需|AA₁|+|BB₁|最小，
而|AA₁|+|BB₁|=x₁+x₂+2=（my₁+a）+（my₂+a）+2=m（y₁+y₂）+2+2a=4m²+2+2a，…③
將①代入③中，得|AA₁|+|BB₁|=4m2+2+2•

1-16(m4+m2)

16(m2+1)

=2(m2+1)+

1

8(m2+1)

．
令m²+1=t，t≥1，則|AA₁|+|BB₁|=2t+

1

8t

，
令f(x)=2t+

1

8t

，則f′(t)=2-

1

8t2

=

16t2-1

8t2

＞0，
∴f（t）在[0，+∞）上為增函數(shù)，∴f（x）≥f(1)=

17

8

，即|AA₁|+|BB₁|有最小值

17

8

，
將此值代入②中，得|MN|的最小值為

1

16

，即AB中點到y(tǒng)軸距離的最小值為

1

16

．
故答案為：C．

點評：1．本題涉及拋物線中距離的最值問題，一般思路是轉化為函數(shù)的最值問題處理，轉化時應充分挖掘圖形的幾何特征，并注意直線方程的巧設及韋達定理的靈活運用．
2．從求解過程可以看到，|MN|=

1

16

時，m=0，此時直線方程為x=a，即A（a，

1

2

），B（a，-

1

2

），將A點坐標代入拋物線方程中，得a=

1

16

．事實上，由于|AB|很小，直接考慮AB垂直于x軸這種特殊情況，立馬可得AB中點到y(tǒng)軸的距離為

1

16

，可以排除A，B選項，值得注意的是，如果|AB|較大（相對于焦點到準線的距離來說），如|AB|=8，|MN|就不是在這種特殊情況下取最小值了，這時可以利用拋物線的定義求解．