【題目】（12分）

已知函數(shù)（a為實數(shù)）.

（1）當時，求函數(shù)的圖像在處的切線方程；

（2）求在區(qū)間上的最小值；

（3）若存在兩個不等實數(shù)，使方程成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】（1）.

（2）.

（3）.

【解析】試題分析：（1）當時，對函數(shù)求導，再分別求出和，即可求得函數(shù)的圖像在處的切線方程；（2）先利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再對進行分類討論，根據(jù)單調(diào)性，即可求得在區(qū)間上的最小值；（3）存在兩個不等實數(shù)，使方程成立等價于有兩個不等的解，令，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象，即可求得實數(shù)的取值范圍.

試題解析：(1)當時，，故切線的斜率為，所以切線方程為，即.

(2) ，

當時，在區(qū)間上，為增函數(shù)，所以，當時，在區(qū)間內(nèi)，為減函數(shù)，在區(qū)間上，為增函數(shù)，所以.

(3)由，可得，則，令，則，

因為，所以，

所以實數(shù)的取值范圍為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】從標準質(zhì)量為500g的一批洗衣粉中，隨機抽查了50袋，測得的質(zhì)量數(shù)據(jù)如下（單位：g）：

494 498 493 494 496 492 490 490 500 499 494 495 482 485 502

493 505 485 501 491 493 500 509 512 484 509 510 494 497 498

504 498 483 510 503 497 502 498 497 500 493 499 505 493 491

497 515 503 498 518

（1）找出這組數(shù)的最值，求出極差；

（2）以為第一個分組的區(qū)間，作出這組數(shù)的頻率分布表.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某人經(jīng)營一個抽獎游戲，顧客花費3元錢可購買一次游戲機會，每次游戲中，顧客從標有黑1、黑2、黑3、黑4、紅1、紅3的6張卡片中隨機抽取2張，并根據(jù)摸出的卡片的情況進行兌獎，經(jīng)營者將顧客抽到的卡片情況分成以下類別：：同花順，即卡片顏色相同且號碼相鄰；：同花，即卡片顏色相同，但號碼不相鄰；：順子，即卡片號碼相鄰，但顏色不同；：對子，即兩張卡片號碼相同；：其它，即，，，以外的所有可能情況，若經(jīng)營者打算將以上五種類別中最不容易發(fā)生的一種類別對應顧客中一等獎，最容易發(fā)生的一種類別對應顧客中二等獎，其他類別對應顧客中三等獎.

（1）一、二等獎分別對應哪一種類別？（寫出字母即可）

（2）若經(jīng)營者規(guī)定：中一、二、三等獎，分別可獲得價值9元、3元、1元的獎品，假設某天參與游戲的顧客為300人次，試估計經(jīng)營者這一天的盈利.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，且短軸長為6.

(1)求橢圓的標準方程；

(2)是否存在斜率為1的直線l，使得l與曲線C相交于A，B兩點，且以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過原點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（12分）

已知拋物線的焦點F與橢圓的一個焦點重合，點在拋物線上，過焦點F的直線l交拋物線于A,B兩點.

（1）求拋物線C的標準方程以及的值.

（2）記拋物線的準線軸交于點H，試問是否存在常數(shù)，使得，且都成立.若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知圓的方程為，點，點M為圓上的任意一點，線段的垂直平分線與線段相交于點N.

（1）求點N的軌跡C的方程.

（2）已知點，過點A且斜率為k的直線交軌跡C于兩點，以為鄰邊作平行四邊形，是否存在常數(shù)k，使得點B在軌跡C上，若存在，求k的值；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某地區(qū)發(fā)現(xiàn)某污染源，相關部門對污染情況進行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中污染指數(shù)與時刻x（時）的函數(shù)關系為，其中a是與氣象有關的參數(shù)，且．按規(guī)定，若每天污染指數(shù)不超過2，則環(huán)保合格，否則需要整改．如果以每天中的最大值作為當天的污染指數(shù)，并記為，那么該地區(qū)污染指數(shù)的超標情況為________．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知圓具有以下性質(zhì)：設A，B是圓C：上關于原點對稱的兩點，點P是圓上的任意一點．若直線PA，PB的斜率都存在并分別記為，，則＝﹣1，是與點P的位置無關的定值．

（1）試類比圓的上述性質(zhì)，寫出橢圓的一個類似性質(zhì)，并加以證明；

（2）如圖，若橢圓M的標準方程為，點P在橢圓M上且位于第一象限，點A，B分別為橢圓長軸的兩個端點，過點A，B分別作⊥PA，⊥PB，直線，交于點C，直線與橢圓M的另一交點為Q，且，求的取值范圍（可直接使用（1）中證明的結(jié)論）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某醫(yī)藥開發(fā)公司實驗室有瓶溶液，其中瓶中有細菌，現(xiàn)需要把含有細菌的溶液檢驗出來，有如下兩種方案：

方案一：逐瓶檢驗，則需檢驗次；

方案二：混合檢驗，將瓶溶液分別取樣，混合在一起檢驗，若檢驗結(jié)果不含有細菌，則瓶溶液全部不含有細菌；若檢驗結(jié)果含有細菌，就要對這瓶溶液再逐瓶檢驗，此時檢驗次數(shù)總共為.

(1)假設，采用方案一，求恰好檢驗3次就能確定哪兩瓶溶液含有細菌的概率；

(2)現(xiàn)對瓶溶液進行檢驗，已知每瓶溶液含有細菌的概率均為.

若采用方案一.需檢驗的總次數(shù)為,若采用方案二.需檢驗的總次數(shù)為.

(i)若與的期望相等.試求關于的函數(shù)解析式;

(ii)若,且采用方案二總次數(shù)的期望小于采用方案一總次數(shù)的期望.求的最大值.

參考數(shù)據(jù)：

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