Question

16．若直線l過點(diǎn)（-3，1）且被圓x²+y²=25截得的弦長為8，則直線l的方程是（　�。�

• A． x=-3或4x+3y-15=0
• B． 4x-3y+15=0
• C． 4x+3y-15=0
• D． x=-3或4x-3y+15=0

Answer 1

分析 算出圓心為O（0，0）、半徑r=5，根據(jù)垂徑定理算出直線到圓心的距離等于3．當(dāng)直線斜率存在時(shí)設(shè)直線方程為y-1=k（x+3），由點(diǎn)到直線的距離公式建立關(guān)于k的等式，解出k=$\frac{4}{3}$，可得此時(shí)直線的方程；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x+3=0，到圓心的距離也等于3，符合題意．由此即可得出所求的直線方程．

解答 解：圓x²+y²=5的圓心為O（0，0），半徑r=5．設(shè)圓心到直線的距離為d，
①當(dāng)過點(diǎn)M（-3，1）的直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y-1=k（x+3），即kx-y+3k+1=0，
∵直線圓x²+y²=25截得弦長為8，
∴根據(jù)垂徑定理，得圓心到直線的距離d=3．
根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得$\frac{|3k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=3，解之得k=$\frac{4}{3}$，
此時(shí)直線的方程為4x-3y+15=0；
②當(dāng)過點(diǎn)M（-3，1）的直線斜率不存在時(shí)，
直線方程為x=-3．
由圓心到直線的距離d=3，可得直線被圓截得的弦長也等于8，符合題意．
綜上所述，可得所求的直線方程為4x-3y+15=0或x=-3．
故選D．

點(diǎn)評 本題給出經(jīng)過定點(diǎn)的直線被圓O截得的弦長，求直線的方程．著重考查了直線的方程、圓的方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．