Question

10．已知A、B、C的坐標分別是A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）．
（1）若|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，求角α的值；
（2）若$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=-1，求$\frac{{2{{sin}^2}α+2sinαcosα}}{1+tanα}$的值．

Answer 1

分析 （1）求出向量坐標，根據(jù)向量模長公式建立方程進行求解即可．
（2）根據(jù)向量數(shù)量積的定義建立方程關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)的三角公式進行化簡即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）．
∴$\overrightarrow{AC}$=（cosα-3，sinα），$\overrightarrow{BC}$=（cosα，sinα-3），
∵$|{\overrightarrow{AC}}|=|{\overrightarrow{BC}}|$，
∴$\sqrt{（cosα-3）^{2}+si{n}^{2}α}$=$\sqrt{co{s}^{2}α+（sinα-3）^{2}}$，
整理得$sinα=cosα知α=kπ+\frac{π}{4}，k$∈Z．
（2）若$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}=-1$，得（cosα-3，sinα）•（cosα，sinα-3）=-1，
即cosα（cosα-3）+sinα（sinα-3）=-1，
整理得$sinα+cosα=\frac{2}{3}$，
兩邊平方得2sinαcosα=$-\frac{5}{9}$，
則$\frac{{2{{sin}^2}α+2sinαcosα}}{1+tanα}$=$\frac{2si{n}^{2}α+2sinαcosα}{1+\frac{sinα}{cosα}}$
=$\frac{2sinα（sinα+cosα）}{\frac{sinα+cosα}{cosα}}$=2sinαcosα=$-\frac{5}{9}$．

點評 本題主要考查平面向量數(shù)量積的應用以及向量和三角函數(shù)的綜合，根據(jù)相應的三角公式以及向量的坐標公式進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．