Question

20．已知：$\overrightarrow a$=（-$\sqrt{3}$sinωx，cosωx），$\overrightarrow b$=（cosωx，cosωx），ω＞0，記函數(shù)f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$，且f（x）的最小正周期為π．
（1）求ω的值；
（2）解不等式f（x）≥1．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式結(jié)合三角函數(shù)的輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合周期公式建立方程進(jìn)行求解；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的不等式，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)解不等式即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a$=（-$\sqrt{3}$sinωx，cosωx），$\overrightarrow b$=（cosωx，cosωx），
∴$f（x）=-\sqrt{3}sinωx•cosωx+{cos^2}ωx$=$\frac{1}{2}（cos2ωx-\sqrt{3}sin2ωx）+\frac{1}{2}$=$cos（2ωx+\frac{π}{3}）+\frac{1}{2}$，
∵f（x）的最小正周期為π，
∴T=$\frac{2π}{2ω}$=π，得ω=1．
（2）∵f（x）≥1，
∴由（1）得$cos（2x+\frac{π}{3}）≥\frac{1}{2}$，
即-$\frac{π}{3}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
解得$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ$，k∈Z．
即不等式的解集是[-$\frac{π}{3}$+kπ，kπ]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查向量數(shù)量積的應(yīng)用以及向量與三角函數(shù)的綜合，利用輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)結(jié)合周期求出ω的值是解決本題的關(guān)鍵．