Question

（12分）已知等差數(shù)列的公差大于0,且是方程的兩根,數(shù)列的前項(xiàng)的和為，且．

（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；

（2）記,求證：；

（3）求數(shù)列的前項(xiàng)和．

 

Answer 1

【答案】

（1） （2）見解析；（3） 。

【解析】

試題分析：（1）由已知可得，a₃+a₅= 14， a₃•a₅=45且a₅＞a₃，聯(lián)立方程解得a₅，a₃，進(jìn)一步求出數(shù)列{a_n}通項(xiàng)，數(shù)列{b_n}中，利用遞推公式b_n= s_n-s_n-1，n≥2

s_{1 ，}n=1

（2）把（1）中求得的a_n和b_n代入c_n=a_nb_n，求得c_n，進(jìn)而可求得c_n+1-c_n求得結(jié)果小于等于0，原式得證．

（3）用錯(cuò)位相減求數(shù)列{c_n}的前n和

解：（1）∵，是方程的兩根，且數(shù)列的公差>0，

∴=5，=9，公差∴………3分

又當(dāng)=1時(shí)，有 

當(dāng)

∴數(shù)列{}是首項(xiàng)，公比等比數(shù)列，

∴                                …………4分

（2）由（1）知         …………6分

∴

∴                               …………………………8分

（3），設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，

            （1）

       (2)     ………………10分

得：

化簡得：                      ………………………12分

考點(diǎn)：本試題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬基礎(chǔ)題．

點(diǎn)評：解決該試題的關(guān)鍵是利用遞推公式求通項(xiàng)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想；一般的，若數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，{b_n}為等比數(shù)列，求數(shù)列{a_n•b_n}的前n和可采用錯(cuò)位相減法．