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6.如圖,已知橢圓C1x210+y2=1,雙曲線C2x2a2-y22=1(a>0,b>0),若以C1的長軸為直徑的圓與C2的一條漸近線交于A,B兩點(diǎn),且C1與該漸近線的兩交點(diǎn)將線段AB三等分,則C2的離心率為( �。�
A.9B.5C.5D.3

分析 由已知,|OA|=a=10,設(shè)OA所在漸近線的方程為y=kx(k>0),則A(101+k2,10k1+k2),AB的一個三分點(diǎn)坐標(biāo)為(1031+k2,10k31+k2),由該點(diǎn)在橢圓C1上,求出\frac{a}=22,從而c=a2+2=3a,由此能求出離心率.

解答 解:由已知,|OA|=a=10,
設(shè)OA所在漸近線的方程為y=kx(k>0),
∴A點(diǎn)坐標(biāo)可表示為A(x0,kx0)(x0>0)
1+k2x0=10,即A(101+k2,10k1+k2),
∴AB的一個三分點(diǎn)坐標(biāo)為(1031+k2,10k31+k2),
該點(diǎn)在橢圓C1上,∴1091+k210+10k291+k2=1,即1+10k291+k2=1,得k=22,
\frac{a}=22,∴c=a2+2=3a,
∴離心率e=ca=3
故選:D.

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的離心率的求法,考查橢圓性質(zhì)、雙曲線等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,是中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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