Question

7．如果圓柱的軸截面的周長l為定值，則圓柱體積的最大值為（　�。�

• A． （$\frac{l}{6}$）³π
• B． （$\frac{l}{3}$）³π
• C． （$\frac{l}{4}$）³π
• D． $\frac{1}{4}$（$\frac{l}{4}$）³π

Answer 1

分析 設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h．可得4r+2h=l，可得h=$\frac{l-4r}{2}$．圓柱體積V=πr²×h=$\frac{π}{8}$×2r×2r×（l-4r），再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h．
∴4r+2h=l，∴h=$\frac{l-4r}{2}$．
∴圓柱體積V=πr²×h=πr²×$\frac{l-4r}{2}$=$\frac{π}{8}$×2r×2r×（l-4r）≤$\frac{π}{8}$×$（\frac{2r+2r+l-4r}{3}）^{3}$=$（\frac{l}{6}）^{3}π$．當(dāng)且僅當(dāng)r=$\frac{l}{6}$時取等號．
故選：A．

點評 本題考查了圓柱的軸截面性質(zhì)、體積計算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．