Question

2．若函數(shù)f（x）同時滿足：①對于定義域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0；②對于定義域上的任意x₁，x₂，當(dāng)x₁≠x₂時，恒有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，則稱函數(shù)f（x）為“理想函數(shù)“．下列四個函數(shù)中：①f（x）=$\frac{1}{x}$；②f（x）=x²；③f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}，x≥0}\\{{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$；④f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，能稱為“理想函數(shù)”的有③（寫出所有滿足要求的函數(shù)的序號）．

Answer 1

分析 先理解已知兩條性質(zhì)反映的函數(shù)性質(zhì)，①f（x）為奇函數(shù)，②f（x）為定義域上的單調(diào)減函數(shù)，由此意義判斷題干所給四個函數(shù)是否同時具備兩個性質(zhì)即可

解答 解：依題意，性質(zhì)①反映函數(shù)f（x）為定義域上的奇函數(shù)，性質(zhì)②反映函數(shù)f（x）為定義域上的單調(diào)減函數(shù)，
①f（x）=$\frac{1}{x}$為定義域上的奇函數(shù)，但不是定義域上的單調(diào)減函數(shù)，其單調(diào)區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞），故排除①；
②f（x）=x² 為定義域上的偶函數(shù)，排除②；
③f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}，x≥0}\\{{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$的圖象如圖：顯然此函數(shù)為奇函數(shù)，且在定義域上為減函數(shù)，故③為理想函數(shù)；
④f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，定義域?yàn)镽，由于y=2^x+1在R上為增函數(shù)，故函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)，排除④；
故答案為 ③．

點(diǎn)評 本題主要考查了抽象表達(dá)式反映的函數(shù)性質(zhì)，對新定義函數(shù)的理解能力，奇函數(shù)的定義，函數(shù)單調(diào)性的定義，基本初等函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性及其判斷方法，復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的判斷方法．