【題目】如圖,一個湖的邊界是圓心為O的圓,湖的一側有一條直線型公路l,湖上有橋AB(AB是圓O的直徑).規(guī)劃在公路l上選兩個點P、Q,并修建兩段直線型道路PB、QA.規(guī)劃要求:線段PB、QA上的所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑.已知點A、B到直線l的距離分別為AC和BD(C、D為垂足),測得AB=10,AC=6,BD=12(單位:百米).
(1)若道路PB與橋AB垂直,求道路PB的長;
(2)在規(guī)劃要求下,P和Q中能否有一個點選在D處?并說明理由;
(3)對規(guī)劃要求下,若道路PB和QA的長度均為d(單位:百米).求當d最小時,P、Q兩點間的距離.
【答案】(1)15(百米);
(2)見解析;
(3)17+(百米).
【解析】
解:解法一:
(1)過A作,垂足為E.利用幾何關系即可求得道路PB的長;
(2)分類討論P和Q中能否有一個點選在D處即可.
(3)先討論點P的位置,然后再討論點Q的位置即可確定當d最小時,P、Q兩點間的距離.
解法二:
(1)建立空間直角坐標系,分別確定點P和點B的坐標,然后利用兩點之間距離公式可得道路PB的長;
(2)分類討論P和Q中能否有一個點選在D處即可.
(3)先討論點P的位置,然后再討論點Q的位置即可確定當d最小時,P、Q兩點間的距離.
解法一:
(1)過A作,垂足為E.
由已知條件得,四邊形ACDE為矩形,.
因為PB⊥AB,
所以.
所以.
因此道路PB的長為15(百米).
(2)①若P在D處,由(1)可得E在圓上,則線段BE上的點(除B,E)到點O的距離均小于圓O的半徑,所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.
②若Q在D處,連結AD,由(1)知,
從而,所以∠BAD為銳角.
所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑.
因此,Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.
綜上,P和Q均不能選在D處.
(3)先討論點P的位置.
當∠OBP<90°時,線段PB上存在點到點O的距離小于圓O的半徑,點P不符合規(guī)劃要求;
當∠OBP≥90°時,對線段PB上任意一點F,OF≥OB,即線段PB上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑,點P符合規(guī)劃要求.
設為l上一點,且,由(1)知,,
此時;
當∠OBP>90°時,在中,.
由上可知,d≥15.
再討論點Q的位置.
由(2)知,要使得QA≥15,點Q只有位于點C的右側,才能符合規(guī)劃要求.當QA=15時,.此時,線段QA上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑.
綜上,當PB⊥AB,點Q位于點C右側,且CQ=時,d最小,此時P,Q兩點間的距離PQ=PD+CD+CQ=17+.
因此,d最小時,P,Q兩點間的距離為17+(百米).
解法二:
(1)如圖,過O作OH⊥l,垂足為H.
以O為坐標原點,直線OH為y軸,建立平面直角坐標系.
因為BD=12,AC=6,所以OH=9,直線l的方程為y=9,點A,B的縱坐標分別為3,3.
因為AB為圓O的直徑,AB=10,所以圓O的方程為x2+y2=25.
從而A(4,3),B(4,3),直線AB的斜率為.
因為PB⊥AB,所以直線PB的斜率為,
直線PB的方程為.
所以P(13,9),.
因此道路PB的長為15(百米).
(2)①若P在D處,取線段BD上一點E(4,0),則EO=4<5,所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.
②若Q在D處,連結AD,由(1)知D(4,9),又A(4,3),
所以線段AD:.
在線段AD上取點M(3,),因為,
所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑.
因此Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.
綜上,P和Q均不能選在D處.
(3)先討論點P的位置.
當∠OBP<90°時,線段PB上存在點到點O的距離小于圓O的半徑,點P不符合規(guī)劃要求;
當∠OBP≥90°時,對線段PB上任意一點F,OF≥OB,即線段PB上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑,點P符合規(guī)劃要求.
設為l上一點,且,由(1)知,,此時;
當∠OBP>90°時,在中,.
由上可知,d≥15.
再討論點Q的位置.
由(2)知,要使得QA≥15,點Q只有位于點C的右側,才能符合規(guī)劃要求.
當QA=15時,設Q(a,9),由,
得a=,所以Q(,9),此時,線段QA上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑.
綜上,當P(13,9),Q(,9)時,d最小,此時P,Q兩點間的距離
.
因此,d最小時,P,Q兩點間的距離為(百米).
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2019年,我國施行個人所得稅專項附加扣除辦法,涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項專項附加扣除.某單位老、中、青員工分別有人,現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從該單位上述員工中抽取人調(diào)查專項附加扣除的享受情況.
(Ⅰ)應從老、中、青員工中分別抽取多少人?
(Ⅱ)抽取的25人中,享受至少兩項專項附加扣除的員工有6人,分別記為.享受情況如右表,其中“”表示享受,“×”表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機抽取2人接受采訪.
員工 項目 | A | B | C | D | E | F |
子女教育 | ○ | ○ | × | ○ | × | ○ |
繼續(xù)教育 | × | × | ○ | × | ○ | ○ |
大病醫(yī)療 | × | × | × | ○ | × | × |
住房貸款利息 | ○ | ○ | × | × | ○ | ○ |
住房租金 | × | × | ○ | × | × | × |
贍養(yǎng)老人 | ○ | ○ | × | × | × | ○ |
(i)試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果;
(ii)設為事件“抽取的2人享受的專項附加扣除至少有一項相同”,求事件發(fā)生的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點為拋物線,點為焦點,過點的直線交拋物線于兩點,點在拋物線上,使得的重心在軸上,直線交軸于點,且在點右側.記的面積為.
(1)求的值及拋物線的標準方程;
(2)求的最小值及此時點的坐標.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線C:x2=2py經(jīng)過點(2,1).
(Ⅰ)求拋物線C的方程及其準線方程;
(Ⅱ)設O為原點,過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M,N,直線y=1分別交直線OM,ON于點A和點B.求證:以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓C:的焦點為F1(–1、0),
F2(1,0).過F2作x軸的垂線l,在x軸的上方,l與圓F2:交于點A,與橢圓C交于點D.連結AF1并延長交圓F2于點B,連結BF2交橢圓C于點E,連結DF1.已知DF1=.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)求點E的坐標.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某班從4位男生和3位女生志愿者選出4人參加校運會的點名簽到工作,則選出的志愿者中既有男生又有女生的概率的是__________.(結果用最簡分數(shù)表示)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我們稱滿足以下兩個條件的有窮數(shù)列為階“期待數(shù)列”;①;②.
(1)若數(shù)列的通項公式是,試判斷數(shù)列是否為2014階“期待數(shù)列”,并說明理由;
(2)若等比數(shù)列為階“期待數(shù)列”,求公比及數(shù)列的通項公式;
(3)若一個等差數(shù)列既是()階“期待數(shù)列”又是遞增數(shù)列,求該數(shù)列的通項公式.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在四棱錐PABCD中,AD∥BC,平面PAC⊥平面ABCD,AB=AD=DC=1,
∠ABC=∠DCB=60,E是PC上一點.
(Ⅰ)證明:平面EAB⊥平面PAC;
(Ⅱ)若△PAC是正三角形,且E是PC中點,求三棱錐AEBC的體積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系xOy中,曲線C:x2=6y與直線l:y=kx+3交于M,N兩點.
(1)設M,N到y(tǒng)軸的距離分別為d1,d2,證明:d1d2為定值.
(2)y軸上是否存在點P,使得當k變動時,總有∠OPM=∠OPN?若存在,求以線段OP為直徑的圓的方程;若不存在,請說明理由.
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