Question

【題目】已知元集合的一些子集滿足：每個子集至少含2個元素，每兩個不同子集的交集至多含2個元素，記這些子集的元素個數(shù)的立方和為.問：是否存在不小于3的正整數(shù)，使的最大值等于2009的方冪？說明你的理由．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

設取最大值時，對應有個子集．則．

若存在某個，使，不妨設為，將的所有三元子集記為，則．

對任意的，有.

對任意的，有．

由已知，對任意的，，有

．

故可用替換原先的，形成新的子集族．

因

，

所以，替換后所有集合元素個數(shù)的立方和增加，這與的最大性矛盾．

于是，當取最大值時，每個子集元素的個數(shù)都不大于3．

又取一切的二元子集和三元子集形成的子集族滿足題意，于是，它們的元素個數(shù)的立方和為

.

假設．則

． ①

若是偶數(shù)，則是偶數(shù)．從而，式①左邊是4的倍數(shù)，矛盾．

所以，是奇數(shù)．

記，則

是10的約數(shù)．

結合式①知．

又因，，所以，當時，式①左邊的三個因數(shù)的質(zhì)因子互不相同，故只可能．此時，，而式①右邊不含質(zhì)因子3，矛盾．

綜上，不存在不小于3的正整數(shù)，使的最大值等于2009的方冪．