Question

10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2t}\\{y=1-t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），橢圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），試在橢圓C上求一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到直線l的距離最小．

Answer 1

分析 首先，根據(jù)直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2t}\\{y=1-t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），化簡(jiǎn)為普通方程為：x+2y=4，然后，設(shè)P（2cosθ，sinθ），根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求解即可．

解答 解：根據(jù)直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2t}\\{y=1-t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），得其普通方程為：x+2y=4，
設(shè)P（2cosθ，sinθ），
∴P到l的距離為d=$\frac{|2cosθ+2sinθ-4|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|2\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）-4|}{\sqrt{5}}$≥$\frac{4-2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$，
當(dāng)且僅當(dāng)sin（θ+$\frac{π}{4}$）=1，即θ=2kπ+$\frac{π}{4}$時(shí)等號(hào)成立．
此時(shí)，sinθ=cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴P（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了參數(shù)方程和普通的互化、點(diǎn)到直線的距離公式等知識(shí)，屬于中檔題．