Question

5．已知函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（x+1）-f（x-1）（x∈R），且f（2）=1，則f（2012）=1．

Answer 1

分析 由題設(shè)條件知，可構(gòu)造出f（x+1）=f（x）+f（x+2），與f（x）=f（x-1）+f（x+1）聯(lián)立解出函數(shù)的周期，再求函數(shù)值．

解答 解：因?yàn)閒（x）=f（x+1）-f（x-1）
所以f（x+1）=f（x+2）-f（x）即f（x+2）=-f（x+1）+f（x）
兩式相加得f（x+2）=-f（x-1）
即：f（x+3）=-f（x）
∴f（x+6）=-f（x+3）=f（x）
f（x）是以6為周期的周期函數(shù)．
f（2）=1，2012=6×335+2，
∴f（2012）=f（2）=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評 本題考查對抽象函數(shù)表達(dá)式的理解和運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是由恒等變形得出函數(shù)的周期，本題的難點(diǎn)觀察出解題的方向是研究函數(shù)的周期性，此類題有一個(gè)明顯的特征那就是題設(shè)條件中必有恒等式，且要求的函數(shù)值自變量與已知函數(shù)值的自變量差值較大，不可能通過恒等式變形求出，題后注意總結(jié)這一特征，方便以后遇到同類題時(shí)能快速想到解題的方法．