Question

3．已知函數(shù)f（x）=ax³+3x²+1，若至少存在兩個(gè)實(shí)數(shù)m，使得f（-m），f（1）、f（m+2）成等差數(shù)列，則過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線(xiàn)y=f（x）的切線(xiàn)可以作（　�。�

• A． 3條
• B． 2條
• C． 1條
• D． 0條

Answer 1

分析 由題意可得f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，a+4）對(duì)稱(chēng)，求出f（x）的二階導(dǎo)數(shù)，可得a的方程，解得a=-1，設(shè)出切點(diǎn)，求得切線(xiàn)的斜率，由兩點(diǎn)的斜率公式，化簡(jiǎn)整理，設(shè)g（t）=2t³-3t²+1，g′（t）=6t²-6t，求出單調(diào)區(qū)間和極值，即可判斷方程的解的個(gè)數(shù)，即切線(xiàn)的條數(shù)．

解答 解：至少存在兩個(gè)實(shí)數(shù)m，使得f（-m），f（1）、f（m+2）成等差數(shù)列，
可得f（-m）+f（2+m）=2f（1）=2（a+4），
即有f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，a+4）對(duì)稱(chēng)，
由f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3ax²+6x，
f″（x）=6ax+6，由 f″（x）=0，可得x=-$\frac{1}{a}$，
由f（-$\frac{1}{a}$+x）+f（-$\frac{1}{a}$-x）為常數(shù)，
可得-$\frac{1}{a}$=1，解得a=-1，
即有f（x）=-x³+3x²+1，f′（x）=-3x²+6x，
設(shè)切點(diǎn)為（t，-t³+3t²+1），
可得切線(xiàn)的斜率為-3t²+6t=$\frac{-{t}^{3}+3{t}^{2}+1}{t}$，
化為2t³-3t²+1=0，
設(shè)g（t）=2t³-3t²+1，g′（t）=6t²-6t，
當(dāng)0＜t＜1時(shí)，g′（t）＜0，g（t）遞減；當(dāng)t＞1或t＜0時(shí)，g′（t）＞0，g（t）遞增．
可得g（t）在t=0處取得極大值，且為1＞0；在t=1處取得極小值，且為0．
可知2t³-3t²+1=0有兩解，
即過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線(xiàn)y=f（x）的切線(xiàn)可以作2條．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，主要是對(duì)稱(chēng)性，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查轉(zhuǎn)化思想和方程思想，化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．