Question

已知f（x）=ax³，且f（6）=-216．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）分解因式f（m）-f（n）；
（3）證明f（x）在R上是減函數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）把自變量的值代入f（6）中，求出a的值；
（2）按照立方差公式分解f（m）-f（n）即可；
（3）方法一：用導(dǎo)數(shù)來判斷f（x）的單調(diào)性，
方法二，用單調(diào)性定義來證明．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax³，且f（6）=-216，
∴a×6³=-216，
∴a=-1；
（2）∵a=-1，∴f（x）=-x³，
∴f（m）-f（n）=-m³-（-n³）
=n³-m³
=（n-m）（n²+nm+m²）；
（3）證明：【方法一】
∵f（x）=-x³，
∴f′（x）=-x²≤0，
∴f（x）在R上是減函數(shù)．
【方法二】用單調(diào)性定義證明：
任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（x₂-x₁）（x12+x₁x₂+x22）
=（x₂-x₁）[(x1+

x2

2

)2+

3x22

4

]；
∵x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在R上是減函數(shù)．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的判斷以及求函數(shù)值與利用立方差公式分解因式的問題，是基礎(chǔ)題．