Question

4．中心在原點，一焦點為${F_1}（0，-5\sqrt{2}）$的橢圓截直線y=3x-2所得弦的中點的橫坐標為$\frac{1}{2}$，求此橢圓的方程．

Answer 1

分析 由題意可知：設(shè)$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），則c=5$\sqrt{2}$，則$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-2}\\{\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，整理得：（a²+9b²）x²-12b²x+b²（4-a²）=0，由韋達定理可知：x₁+x₂=$\frac{12^{2}}{{a}^{2}+9^{2}}$，由中點坐標公式可知：$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，即可求得a²=15b²，則$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-^{2}=50}\\{{a}^{2}=3^{2}}\end{array}\right.$，即可求得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=25}\\{^{2}=75}\end{array}\right.$，即可求得橢圓方程．

解答 解：由題意可知：焦點為${F_1}（0，-5\sqrt{2}）$，可知焦點在y軸上，
設(shè)$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），則c=5$\sqrt{2}$，
直線y=3x-2與橢圓相交于A，B兩點，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-2}\\{\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，整理得：（a²+9b²）x²-12b²x+b²（4-a²）=0，
由韋達定理可知：x₁+x₂=$\frac{12^{2}}{{a}^{2}+9^{2}}$，
由中點坐標公式可得，$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，即$\frac{6^{2}}{{a}^{2}+9^{2}}$=$\frac{1}{2}$，整理得：a²=15b²，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-^{2}=50}\\{{a}^{2}=3^{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=25}\\{^{2}=75}\end{array}\right.$，
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{75}=1$．

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理及中點坐標公式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．