Question

5．已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f（x）=$\frac{x-3}{x+1}$，若對任意實數(shù)t∈$[\frac{1}{2}，2]$，都有f（t+a）-f（t-2）＞0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-2）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 由分離常數(shù)法化簡解析式，并判斷出函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，由偶函數(shù)的性質(zhì)將不等式化為：f（|t+a|）＞f（|t-2|），利用單調(diào)性得|t+a|＞|t-2|，化簡后轉(zhuǎn)化為：對任意實數(shù)t∈[$\frac{1}{2}$，2]，都有（2a+4）t+a²-4＞0恒成立，根據(jù)關(guān)于t的一次函數(shù)列出a的不等式進(jìn)行求解．

解答 解：∵當(dāng)x＞0時，f（x）=$\frac{x+1-4}{x+1}=1+\frac{-4}{x+1}$，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
由f（t+a）-f（t-2）＞0得，f（t+a）＞f（t-2），
又f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（|t+a|）＞f（|t-2|），則|t+a|＞|t-2|，
兩邊平方得，（2a+4）t+a²-4＞0，
∵對任意實數(shù)t∈[$\frac{1}{2}$，2]，都有f（t+a）-f（t-2）＞0恒成立，
∴對任意實數(shù)t∈[$\frac{1}{2}$，2]，都有（2a+4）t+a²-4＞0恒成立，
則 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（2a+4）{+a}^{2}-4＞0}\\{2（2a+4）+{a}^{2}-4＞0}\end{array}\right.$，化簡得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+a-2＞0}\\{{a}^{2}+4a+4＞0}\end{array}\right.$，
解得，a＞1或a＜-2，
則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-2）∪（1，+∞）．
故答案為：（-∞，-2）∪（1，+∞）．

點評 本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)及恒成立問題，屬于中檔題