h(x)=x+
m
x
,x∈[
1
4
,5]
,其中m是不等于零的常數(shù),
(1)(理)寫出h(4x)的定義域;
(文)m=1時,直接寫出h(x)的值域;
(2)(文、理)求h(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(3)已知函數(shù)f(x)(x∈[a,b]),定義:f1(x)=minf(t)|a≤t≤x(x∈[a,b]),f2(x)=maxf(t)|a≤t≤x(x∈[a,b]).其中,minf(x)|x∈D表示函數(shù)f(x)在D上的最小值,maxf(x)|x∈D表示函數(shù)f(x)在D上的最大值.例如:f(x)=cosx,x∈[0,π],則f1(x)=cosx,x∈[0,π],f2(x)=1,x∈[0,π].
(理)當m=1時,設M(x)=
h(x)+h(4x)
2
+
|h(x)-h(4x)|
2
,不等式t≤M1(x)-M2(x)≤n恒成立,求t,n的取值范圍;
(文)當m=1時,|h1(x)-h2(x)|≤n恒成立,求n的取值范圍.
分析:(1)令4x在h(x)的定義域內(nèi),求出x的范圍,寫出區(qū)間形式即為h(4x)的定義域.
(2)對m分類討論,利用導函數(shù)的符號,當導函數(shù)大于0時對應的區(qū)間為遞增區(qū)間;導函數(shù)小于0時,對應的區(qū)間為遞減區(qū)間;求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(3)通過解不等式,比較出h(x)與h(4x)的大小,求出m(x)的解析式;求出M1(x),M2(x)求出M1(x)-M2(x)的值域,求出t,n的范圍.
解答:解:理(1)∵4x∈[
1
4
,5]

x∈[
1
16
,
5
4
]

∴h(4x)的定義域為[
1
16
5
4
]

(2)h′(x)=1-
m
x2

m<0時,h(x)在[
1
4
,5]
遞增;
0<m≤
1
16
時,h(x)在[
1
4
,5]
遞增
1
16
<m≤25
時,h(x)在[
m
,5]
遞增
(3)由題知:h(x)-h(4x)=
3(1-4x2)
4x

所以,h(x)>h(4x)x∈[
1
4
1
2
)

h(x)=h(4x)x∈{
1
2
}

h(x)<h(4x)x∈(
1
2
,
5
4
]

M(x)=
h(x),h(x)≥h(4x)
h(4x),h(x)<h(4x)

M(x)=
x+
1
x
,x∈[
1
4
1
2
]
4x+
1
4x
,x∈[
1
2
5
4
]

M1(x)=
x+
1
x
,x∈[
1
4
1
2
]
5
2
,x∈[
1
2
5
4
]

M2(x)=
17
4
,x∈[
1
4
,1]
4x+
1
4x
,x∈[1
5
4
]

M1-M2=
x+
1
x
-
17
4
,x∈[
1
4
1
2
]
-
7
4
,x∈[
1
2
,1]
5
2
-(4x+
1
4x
),x∈[1
5
4
]

M1(x)-M2(x)∈[-
21
10
,0]

n≥0,t≤-
21
10

文:(1)h(x)∈[2,
26
5
]

(2)m<0時,h(x)在[
1
4
,5]
遞增
0<m≤
1
16
時,h(x)在[
1
4
,5]
遞增
1
16
<m≤25
時,h(x)在[
m
,5]
遞增
(3)h1(x)=
x+
1
x
,x∈[
1
4
,1]
2,x∈[1,5]

h2(x)=
17
4
,x∈[
1
4
,4]
x+
1
x
,x∈[4,5]

h1(x)-h2(x)=
x+
1
x
-
17
4
,x∈[
1
4
,1]
-
9
4
,x∈[1,4]
2-x-
1
x
x∈[4,5]

|h1(x)-h2(x)|∈[0,
16
5
]

所以n≥
16
5
點評:本題考查抽象函數(shù)的定義域的求法:知f(x)的定義域為[a,b],求f(mx+n)的定義域只要解不等式a≤mx+n≤b即可、考查研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時,若含參數(shù)一般需要討論.分段函數(shù)的處理方法是先分再合的策略.
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3
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2x
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(1)求m+n的值;
(2)設h(x)=f(x)+
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2
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