Question

10．若函數(shù)f（x）=x²+$\frac{2}{x}$-alnx（a＞0）有唯一零點x₀，且m＜x₀＜n（m，n為相鄰整數(shù)），則m+n的值為（　�。�

• A． 1
• B． 3
• C． 5
• D． 7

Answer 1

分析 構造函數(shù)${y_1}={x^2}+\frac{2}{x}，{y_2}=alnx（a＞0）$，由函數(shù)$f（x）={x^2}+\frac{2}{x}-alnx（a＞0）$有唯一零點x₀，則y₁，y₂有公切點，由此求x₀的解析式，即可求出m、n的值．

解答 解：令${y_1}={x^2}+\frac{2}{x}，{y_2}=alnx（a＞0）$，

則${y_1}^′=2x-\frac{2}{x^2}=\frac{{2{x^3}-2}}{x^2}，{y_2}^′=\frac{a}{x}（a＞0，x＞0）$，
在（0，1）上y₁為減函數(shù)，在（1，+∞）上y₁為增函數(shù)，
所以y₁為凹函數(shù)，而y₂為凸函數(shù)；
∵函數(shù)$f（x）={x^2}+\frac{2}{x}-alnx（a＞0）$有唯一零點x₀，
∴y₁，y₂有公切點（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{{2x}_{0}-\frac{2}{{{x}_{0}}^{2}}=\frac{a}{{x}_{0}}}\\{{{x}_{0}}^{2}+\frac{2}{{x}_{0}}=al{nx}_{0}}\end{array}\right.$，
消去a，得${{x}_{0}}^{2}$+$\frac{2}{{x}_{0}}$-2（${{x}_{0}}^{2}$-$\frac{1}{{x}_{0}}$）lnx₀=0；
構造函數(shù)$g（x）={x^2}+\frac{2}{x}-2（{{x^2}-\frac{1}{x}}）lnx，（{x＞0}）$，
則$g（2）=4+1-2（4-\frac{1}{2}）ln2=5-7ln2$，
欲比較5與7ln2大小，可比較e⁵與2⁷大小，
∵e⁵＞2⁷，∴g（2）＞0，
$g（e）={e^2}+\frac{2}{e}-2（{{e^2}-\frac{1}{e}}）=-{e^2}+\frac{3}{e}＜0$，
∴x∈（2，e）；
∴m=2，n=3，∴m+n=5．

點評 本題考查了函數(shù)的性質與應用問題，也考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性問題，是綜合性題目．