Question

已知:0°<α<90°,0°<α+β<90°,3sinβ=sin(2α+β),則tanβ的最大值是　　　　.

Answer 1

由3sinβ=sin(2α+β)得3sin(α+β-α)=sin(α+β+α),化簡得sin(α+β)cosα=2cos(α+β)sinα,
∴tan(α+β)=2tanα,
∴tanβ=tan(α+β-α)=
==.
由題意知,tanα>0,
∴+2tanα≥2
(當(dāng)且僅當(dāng)=2tanα,即tanα=時(shí)等號(hào)成立),
∴tanβ的最大值為=.
【方法技巧】三角函數(shù)和差公式的靈活應(yīng)用
(1)三角函數(shù)和差公式在三角函數(shù)式的化簡和求值中經(jīng)常用到,因此公式的靈活應(yīng)用非常關(guān)鍵,公式可以正用、逆用、變形應(yīng)用.
(2)逆用關(guān)鍵在于構(gòu)造公式的形式,方法是通過三角恒等變換,出現(xiàn)和或差的形式,即出現(xiàn)能逆用公式的條件;有時(shí)通過兩式平方相加減,利用平方關(guān)系式,切函數(shù)化成弦函數(shù)等技巧.