如圖，在長方體中，已知上下兩底面為正方形，且邊長均為1；側(cè)棱，為中點，為中點，為上一個動點.

（Ⅰ）確定點的位置，使得；
（Ⅱ）當時，求二面角的平面角余弦值.
（Ⅰ）為的四等分點；（Ⅱ） .

試題分析：（Ⅰ）用向量法的解題步驟是建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，寫出相應(yīng)的點的坐標及向量的坐標，利用向量的數(shù)量積為0，則這兩個向量垂直，得出結(jié)論；（Ⅱ）二面角的問題，找到兩個平面的法向量的夾角，利用向量的夾角公式求解.
試題解析：方法一：

(Ⅰ)如圖，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，則
易得       2分
由題意得,設(shè)
又
則由得，
∴,得為的四等分點.         6分
(Ⅱ)易知平面的一個法向量為，設(shè)平面的法向量為
則,得，取，得，      10分
∴，∴二面角的平面角余弦值為.12分
方法二：
（Ⅰ）∵在平面內(nèi)的射影為，且四邊形為正方形，為中點， ∴
同理，在平面內(nèi)的射影為，則
由△～△， ∴,得為的四等分點.        6分
（Ⅱ）∵平面,過點作，垂足為；
連結(jié)，則為二面角的平面角；          8分
由，得,解得
∴在中，,
∴；∴二面角的平面角余弦值為.  12分
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）在三棱柱中，側(cè)面為矩形，，，為的中點，與交于點，側(cè)面.

（1）證明：；
（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在三棱錐中,是邊長為2的正三角形,平面平面,,分別為的中點.

(1)證明:;
(2)求銳二面角的余弦值;

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，幾何體中，四邊形為菱形，，，面∥面,、、都垂直于面,且，為的中點，為的中點.

（1）求幾何體的體積；
（2）求證：為等腰直角三角形；
（3）求二面角的大小.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，直棱柱ABC-中，D，E分別是AB，BB1的中點，=AC=CB=AB.

（Ⅰ）證明： //平面；
（Ⅱ）求二面角D--E的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分14分）如圖，在三棱錐中，面面，是正三角形， ，．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求平面DAB與平面ABC的夾角的余弦值；
（Ⅲ）求異面直線與所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

若四棱柱的底面是邊長為1的正方形，且側(cè)棱垂直于底面，若與底面成60°角，則二面角的平面角的正切值為         

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知正方體，分別為各個面的對角線；

（1）求證：；
（2）求異面直線所成的角.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

正三棱錐P—ABC中，CM=2PM，CN=2NB，對于以下結(jié)論：

①二面角B—PA—C大小的取值范圍是（，π）；
②若MN⊥AM，則PC與平面PAB所成角的大小為；
③過點M與異面直線PA和BC都成的直線有3條；
④若二面角B—PA—C大小為，則過點N與平面PAC和平面PAB都成的直線有3條．
正確的序號是         ．

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