在數(shù)列中,對(duì)于任意,等式:恒成立,其中常數(shù).
(1)求的值; (2)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;
(3)如果關(guān)于的不等式的解集為,試求實(shí)數(shù)、的取值范圍.
(1),(2)當(dāng)時(shí),, ①得 ②將①,②兩式相減,得, 化簡(jiǎn),得,其中,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071412091654964525/SYS201307141210210152238784_DA.files/image001.png">,所以,其中.因?yàn)?為常數(shù),所以數(shù)列為等比數(shù)列(3),
【解析】
試題分析:(Ⅰ) 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071412091654964525/SYS201307141210210152238784_DA.files/image013.png">,
所以,,
解得 ,. 3分
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),由, ①
得, ②
將①,②兩式相減,得,
化簡(jiǎn),得,其中. 5分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071412091654964525/SYS201307141210210152238784_DA.files/image001.png">,所以,其中. 6分
因?yàn)?為常數(shù),
所以數(shù)列為等比數(shù)列. 8分
(Ⅲ)由(Ⅱ)得, 9分
所以,
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071412091654964525/SYS201307141210210152238784_DA.files/image001.png">,所以原不等式可化簡(jiǎn)為,1 0分
當(dāng)時(shí),不等式,
由題意知,不等式的解集為,
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減,
所以只要求 且即可,
解得; 12分
當(dāng)時(shí),不等式,
由題意,要求不等式的解集為,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071412091654964525/SYS201307141210210152238784_DA.files/image031.png">,
所以如果時(shí)不等式成立,那么時(shí)不等式也成立,
這與題意不符,舍去.
綜上所述:,. 14分
考點(diǎn):數(shù)列求通項(xiàng),等比數(shù)列的判定及不等式與函數(shù)的轉(zhuǎn)化
點(diǎn)評(píng):判定數(shù)列是等比數(shù)列常采用定義法,即判定相鄰兩項(xiàng)之比是否為常數(shù);由數(shù)列前n項(xiàng)和求通項(xiàng)采用關(guān)系式,第三問的不等式恒成立問題常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題,這種轉(zhuǎn)化思路經(jīng)常用到
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
4n-1 |
3 |
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在數(shù)列中,對(duì)于任意,等式:恒成立,其中常數(shù).
(1)求的值;
(2)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;
(3)如果關(guān)于的不等式的解集為,試求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013屆北京西城(北區(qū))高二下學(xué)期學(xué)業(yè)測(cè)試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
在數(shù)列中,對(duì)于任意,等式成立,其中常數(shù).
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;
(Ⅲ)如果關(guān)于n的不等式的解集為,求b和c的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題
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