在數(shù)列中,對于任意,等式成立,其中常數(shù).
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;
(Ⅲ)如果關(guān)于n的不等式的解集為,求b和c的取值范圍.
(Ⅰ)解:因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090810203996072411/SYS201209081021202619985592_DA.files/image001.png">,
所以,,
解得 ,. ………………………… 3分
(Ⅱ)證明:當(dāng)時,由, ①
得, ②
將①,②兩式相減,得 ,
化簡,得,其中. ………………… 5分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090810203996072411/SYS201209081021202619985592_DA.files/image004.png">,
所以 ,其中. ………………………… 6分
因?yàn)?為常數(shù),
所以數(shù)列為等比數(shù)列. …………………… 8分
(Ⅲ)解:由(Ⅱ),得, ……………………… 9分
所以
, 11分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090810203996072411/SYS201209081021202619985592_DA.files/image016.png">,
所以不等式化簡為,
當(dāng)時,考察不等式的解,
由題意,知不等式的解集為,
因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞增,
所以只要求 且即可,
解得; …………………… 13分
當(dāng)時,考察不等式的解,
由題意,要求不等式的解集為,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090810203996072411/SYS201209081021202619985592_DA.files/image029.png">,
所以如果時不等式成立,那么時不等式也成立,
這與題意不符,舍去.
所以,. ………………………… 14分
【解析】本試題主要是考查了數(shù)列通項(xiàng)公式的運(yùn)用,以及數(shù)列與不等式的綜合運(yùn)用。
(1)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090810203996072411/SYS201209081021202619985592_DA.files/image032.png">,
所以,,
解得 ,.
(2)采用整體的思想,作差法得到通項(xiàng)公式的表示,進(jìn)而得到結(jié)論。
(3)由(Ⅱ),得, ……………………… 9分
所以
然后求和化簡得到。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
4n-1 |
3 |
4n-1 |
3 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆湖北省高一下學(xué)期期中聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
在數(shù)列中,對于任意,等式:恒成立,其中常數(shù).
(1)求的值;
(2)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;
(3)如果關(guān)于的不等式的解集為,試求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年浙江省紹興市高一下學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
在數(shù)列中,對于任意,等式:恒成立,其中常數(shù).
(1)求的值; (2)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;
(3)如果關(guān)于的不等式的解集為,試求實(shí)數(shù)、的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題
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