Question

【題目】如圖所示，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，，平面ABCD，且

求證：；

線段PC上是否存在一點(diǎn)F，使二面角的余弦值是？若存在，請找出點(diǎn)F的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

推導(dǎo)出，，從而，由平面，得，由此能證明平面，從而

推導(dǎo)出兩兩垂直，建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為，，軸的坐標(biāo)系，利用向量法能求出線段上存在一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)滿足時(shí)，二面角的余弦值是

證明：，，，

，E為AD的中點(diǎn)，，

≌，，

，，，

又平面ABCD，平面ABCD，，

又，且PH，平面PEC，平面PEC，

又平面PEC，．

解：由可知∽，

由題意得，，

，

，，，，

、EC、BD兩兩垂直，

建立以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，HB、HC、HP所在直線分別為x，y，z軸的坐標(biāo)系，

0，，0，，4，，0，，0，，

假設(shè)線段PC上存在一點(diǎn)F滿足題意，

與共線，存在唯一實(shí)數(shù)，，滿足，

解得，

設(shè)向量y，為平面CPD的一個(gè)法向量，且，，

，取，得，

同理得平面CPD的一個(gè)法向量，

二面角的余弦值是，

，

由，解得，

，

，

線段PC上存在一點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)F滿足時(shí)，二面角的余弦值是．