Question

設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為A，在x軸負(fù)半軸上有一點B，滿足三點的圓與直線相切.
（1）求橢圓C的方程；
（2）過右焦點作斜率為k的直線與橢圓C交于M，N兩點，線段MN的垂直平分線與x軸相交于點P（m，0），求實數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）

試題分析：（1）連接，因為，可得      (1)
又因為的外接圓與直線相切，所以有    (1)
解由(1)(2)組成的方程組可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）由（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是,所以,設(shè)直線的方程為：，.由方程組：消去得,由韋達(dá)定理求出
的表達(dá)式,寫出線段MN的垂直平分線的方程,并求出的表達(dá)式,進(jìn)而用函數(shù)的方法求其取值范圍,要注意直線斜率不存在及斜率為0情況的討論.
解：（1）連接，因為，，所以，
即，則，.                  3分
的外接圓圓心為，半徑    4分
由已知圓心到直線的距離為，所以，解得，所以，，
所求橢圓方程為.                          6分
（2）因為，設(shè)直線的方程為：，.
聯(lián)立方程組：，消去得.  7分
則，，
的中點為.                       8分
當(dāng)時，為長軸，中點為原點，則.          9分
當(dāng)時，垂直平分線方程
令，所以 
因為，所以，可得，           12分
綜上可得，實數(shù)的取值范圍是                    13分