Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若動(dòng)點(diǎn)P（a，b）到兩直線l₁：y=x和l₂：y=-x+2的距離之和為

2

，則a²+b²的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式

專題：直線與圓

分析：由已恬得l₁，l₂交點(diǎn)為T(mén)（1，1），l₁⊥l₂，P在l₁，l₂的右側(cè)時(shí)，過(guò)P分別向l₁，l₂引垂線，垂足分別為Q，R，那么|PQ|+|PR|=

2

過(guò)P做y軸的平行線，與l₁，l₂交點(diǎn)為C，B，則|PQ|=|TR|，|PR|=|RB|，點(diǎn)P軌跡為正方形ABCD，由此能求出a²+b²=|PO|²的最大值．

解答： 解：若動(dòng)點(diǎn)P（a，b）到兩直線l₁：y=x和l₂：y=-x+2的距離之和為

2

，l₁，l₂交點(diǎn)為T(mén)（1，1），l₁，l₂的斜率分別為-1，1，則l₁⊥l₂，
P在l₁，l₂的右側(cè)時(shí)，過(guò)P分別向l₁，l₂引垂線，
垂足分別為Q，R，那么|PQ|+|PR|=

2

過(guò)P做y軸的平行線，
與l₁，l₂交點(diǎn)為C，B如圖，
則|PQ|=|TR|，|PR|=|RB|
∴|TR|+|RB|=

2

，
其它位置同理，那么點(diǎn)P軌跡為正方形ABCD，
當(dāng)P在C（2，2）時(shí)，
|PO|取得最大值2

2

，即a²+b²=|PO|²取得最大值8．
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查代數(shù)和的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用．