Question

如圖，PA=PB，∠APB=90°，點(diǎn)C在線段PA的延長線上，D、E分別為△ABC的邊AB、BC上的點(diǎn)．若

PE

與

PA

+

PB

共線．

DE

與

PA

共線，則

PD

•

BC

的值為（　�。�

A．-1

B．0

C．1

D．2

Answer 1

分析：設(shè)PA=PB=1，建立如圖所示直角坐標(biāo)系．由題意得點(diǎn)E在∠APB的平分線上，設(shè)E（m，m），根據(jù)

DE

∥

PA

得到D點(diǎn)的坐標(biāo)為（1-m，m），利用直線BE方程算出C（

m

1-m

，0）．由此可得向量

PD

、

BC

關(guān)于m的坐標(biāo)形式，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可算出

PD

•

BC

的值．

解答：解：設(shè)PA=PB=1，以PA、PB所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，
可得A（1，0），B（0，1），
直線AB的方程為y=1-x，
∵

PE

與

PA

+

PB

共線，|

PA

|=|

PB

|，
∴點(diǎn)E在∠APB的平分線上，可得PE所在直線方程是y=x，
設(shè)E（m，m），由

DE

與

PA

共線，得D的縱坐標(biāo)為m，
將y=m代入直線AB方程，得x=1-m，可得D（1-m，m），
∵B（0，1），E（m，m），
∴直線BE的方程為

y-1

m-1

=

x-0

m-0

，
化簡得（m-1）x-my+m=0，
再令y=0得x=

m

1-m

，可得點(diǎn)C坐標(biāo)為（

m

1-m

，0），
∴

BC

=（

m

1-m

，-1），

PD

=（1-m，m），
可得

PD

•

BC

=

m

1-m

•（1-m）+（-1）•m=0．
故選：B

點(diǎn)評：本題以等腰三角形中的向量為載體，求兩個(gè)向量的數(shù)量積．著重考查了向量的線性運(yùn)算、向量的數(shù)量積公式與直線的方程等知識(shí)，考查了利用直角坐標(biāo)系解決向量在幾何問題中的應(yīng)用的方法，屬于中檔題．