Question

14．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-a²x-1，a＞0．
（1）當(dāng)a=2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≤0在[1，+∞）上有解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由當(dāng)a=2時，f（x）=x³+2x²-4x-1，求導(dǎo)：f′（x）=3x²+4x²-4=（3x-2）（x+2），f′（x）=0，解得：x=$\frac{2}{3}$，x=-2，令f′（x）＞0，求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，令f′（x）＜0，求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）由題意可知：f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最小值小于等于0，求導(dǎo)f′（x）=3x²+2ax²-2²=（3x-a）（x+a），令f′（x）=0，解得：x₁=$\frac{a}{3}$＞0，x₂=-a＜0，①當(dāng)$\frac{a}{3}$≤1，即a≤3時，由函數(shù)的單調(diào)性可知：當(dāng)x=1時取最小值，即f（1）≤0，即可求得a的取值范圍；當(dāng)$\frac{a}{3}$＞1，即a＞3時，則當(dāng)x=$\frac{a}{3}$時，取最小值，f（$\frac{a}{3}$）=$\frac{{a}^{3}}{27}$+$\frac{{a}^{3}}{9}$-$\frac{{a}^{3}}{3}$-1≤0，即可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時，函數(shù)f（x）=x³+2x²-4x-1，
求導(dǎo)：f′（x）=3x²+4x²-4=（3x-2）（x+2），
令f′（x）=0，解得：x=$\frac{2}{3}$，x=-2，
由f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{2}{3}$或x＜-2，
由f′（x）＜0，解得：-2＜x＜$\frac{2}{3}$，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-2，$\frac{2}{3}$），單調(diào)遞增區(qū)間（-∞，-2），（$\frac{2}{3}$，+∞）；
（2）要使f（x）≤0在[1，+∞）上有解，只要f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最小值小于等于0，
由f′（x）=3x²+2ax²-2²=（3x-a）（x+a），
令f′（x）=0，解得：x₁=$\frac{a}{3}$＞0，x₂=-a＜0，
①當(dāng)$\frac{a}{3}$≤1，即a≤3時，f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）在[1，+∞）上的最小值為f（1），
由f（1）≤0，即1+a-a²-1≤0，整理得：a²-a≥0，
解得：a≥1或a≤0，
∴1≤a≤3．
②當(dāng)$\frac{a}{3}$＞1，即a＞3時，f（x）在區(qū)間[1，$\frac{a}{3}$]上單調(diào)遞減，在[$\frac{a}{3}$，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）在[1，+∞）上最小值為f（$\frac{a}{3}$），
由f（$\frac{a}{3}$）=$\frac{{a}^{3}}{27}$+$\frac{{a}^{3}}{9}$-$\frac{{a}^{3}}{3}$-1≤0，解得：a≥-$\root{3}{\frac{27}{5}}$，
∴a＞3．
綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用，考查分類討論思想，屬于中檔題．