【題目】已知函數(shù).

若在其定義域上單調(diào)遞減，求的取值范圍；

若存在兩個不同極值點與，且，求證.

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

先對函數(shù)求導(dǎo)，由在其定義域上單調(diào)遞減，得到恒成立，即恒成立，用導(dǎo)數(shù)的方法求出的最小值即可；

（2）若存在兩個不同極值點與，且，欲證：，只需證：，即證，再根據(jù)，得到，，再令，得到，設(shè)，由導(dǎo)數(shù)方法研究其單調(diào)性即可得出結(jié)論.

解：（1）由于的定義域為，且，若在其定義域上單調(diào)遞減，則恒成立，即恒成立.

令，

則隨著的變化，與的變化如下表所示

-

0

+

↘

極小值

↗

所以.

所以

（2）若存在兩個不同極值點與，且，

欲證：.

只需證：.

只需證：.

只需證：.

因為，，，，

所以，

所以

令，則，則，

設(shè)，則，

可知函數(shù)在上單調(diào)遞增

所以 .

所以成立.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某機構(gòu)對A市居民手機內(nèi)安裝的“APP”(英文Application的縮寫，一般指手機軟件)的個數(shù)和用途進行調(diào)研，在使用智能手機的居民中隨機抽取了100人，獲得了他們手機內(nèi)安裝APP的個數(shù)，整理得到如圖所示頻率分布直方圖：

（Ⅰ）從A市隨機抽取一名使用智能手機的居民，試估計該居民手機內(nèi)安裝APP的個數(shù)不低于30的概率；

（Ⅱ）從A市隨機抽取3名使用智能手機的居民進一步做調(diào)研，用X表示這3人中手機內(nèi)安裝APP的個數(shù)在[20,40)的人數(shù)．

①求隨機變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

②用Y1表示這3人中安裝APP個數(shù)低于20的人數(shù)，用Y2表示這3人中手機內(nèi)安裝APP的個數(shù)不低于40的人數(shù)．試比較EY1和EY2的大小．(只需寫出結(jié)論)

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【題目】六棱錐中，底面是正六邊形，底面，給出下列四個命題：

①線段的長是點到線段的距離；

②異面直線與所成角是；

③線段的長是直線與平面的距離；

④是二面角平面角.

其中所有真命題的序號是_______________.

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【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的焦點為F，過F的動直線l交于M、N兩點.

（1）若l垂直于x軸，且線段MN的長為1，求的方程；

（2）若，求線段MN的中點P的軌跡方程；

（3）求的取值范圍.

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【題目】如圖，馬路南邊有一小池塘，池塘岸長40米，池塘的最遠端到的距離為400米，且池塘的邊界為拋物線型，現(xiàn)要在池塘的周邊建一個等腰梯形的環(huán)池塘小路，且均與小池塘岸線相切，記.

（1）求小路的總長，用表示；

（2）若在小路與小池塘之間（圖中陰影區(qū)域）鋪上草坪，求所需鋪草坪面積最小時，的值.

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（Ⅰ）當(dāng)時，求的圖象在點處的切線方程；

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【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為．

（Ⅰ）求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）過曲線上任一點作與夾角為45°的直線，交于點，求的最大值與最小值.

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（2）若，求的最大值與最小值.

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