Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow$=（-2，x），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$．
（Ⅰ）求（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）的值；
（Ⅱ）若m$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$（m為實數(shù)）與$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$平行，求|2m$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的值．

Answer 1

分析 根據(jù)平面向量的坐標表示與運算法則，列出方程求出x的值，再計算（Ⅰ）、（Ⅱ）中所求的值即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，即a•b=0，
∴1×（-2）+2x=0，解得x=1，
∴$\overrightarrow$=（-2，1）；  …（2分）
（Ⅰ）（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=4${\overrightarrow{a}}^{2}$-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-3${\overrightarrow}^{2}$
=4${\overrightarrow{a}}^{2}$-3${\overrightarrow}^{2}$
=4（1²+2²）-3[（-2）²+1²]
=5；…（7分）
（Ⅱ）m$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=m（1，2）+（-2，1）=（m-2，2m+1），
$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$=（1，2）-2（-2，1）=（5，0），
由m$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$平行，得（m-2）×0-（2m+1）×5=0，
解得m=-$\frac{1}{2}$； …（10分）
所以|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|-$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{{（-1-2）}^{2}{+（-2+1）}^{2}}$=$\sqrt{10}$．…（12分）

點評 本題考查了平面向量的坐標表示與運算法則問題，也考查了向量的垂直與共線以及求模長問題，是基礎(chǔ)題目．