Question

2．心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)視覺和空間能力與性別有關(guān)，某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué) （男30女20），給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題，讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答．選題情況如下表：（單位：人）

	幾何題	代數(shù)題	合計(jì)
男	25	5	30
女	10	10	20
合計(jì)	35	15	50

下面的臨界值表供參考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（參考公式${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$其中n=a+b+c+d）
（1）能否在犯錯(cuò)的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān)？
（2）現(xiàn)從選擇做幾何題的10名女生中任意抽取3人對(duì)她們的答題情況進(jìn)行全程研究，記甲、乙、丙三位女生被抽到的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX．

Answer 1

分析 （1）利用公式K²，求出，與臨界值比較，即可得出結(jié)論；
（2）X可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）．

解答 解：（1）K²=$\frac{50×（25×10-10×5）^{2}}{30×20×35×15}$=$\frac{400}{63}$＞5.024，故在犯錯(cuò)的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為視覺和空間能力與性別是有關(guān)的；…（4分）
（2）X可取的值為0，1，2，3
P（X=0）=$\frac{{C}_{7}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{7}{24}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{7}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{21}{40}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{7}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{7}{40}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{120}$．

X	0	1	2	3
P	$\frac{7}{24}$	$\frac{21}{40}$	$\frac{7}{40}$	$\frac{1}{120}$

$E（X）=0×\frac{7}{24}+1×\frac{21}{40}+2×\frac{7}{40}+3×\frac{1}{120}=\frac{9}{10}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí)的運(yùn)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．