Question

已知f（x）=

2x2

x+1

，g（x）=ax+5-2a（a＞0），f（x）的值域為A，g（x）的值域為B．若?x₁∈[0，1]，?x₂∈[0，1]，f（x₁）=g（x₂），則a的范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的值

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：由題意化簡f（x）=

2x2

x+1

=

2(x+1)2-4(x+1)+2

x+1

=2（x+1）+

2

x+1

-4，從而求得0≤f（x）≤1，則原題可化為?x₂∈[0，1]，使0≤g（x₂）≤1，從而求a的范圍．

解答： 解：由題意，
f（x）=

2x2

x+1

=

2(x+1)2-4(x+1)+2

x+1

=2（x+1）+

2

x+1

-4，
∵x+1∈[1，2]，
∴4≤2（x+1）+

2

x+1

≤5，
則0≤f（x）≤1，
則原題可化為?x₂∈[0，1]，使0≤g（x₂）≤1，
又∵g（x）=ax+5-2a（a＞0）在[0，1]上是增函數(shù)，
∴0≤g（0）=5-2a≤1或0≤g（1）=5-a≤1，
解得，2≤a≤

5

2

或4≤a≤5．
故答案為：2≤a≤

5

2

或4≤a≤5．

點評：本題考查了函數(shù)的化簡與函數(shù)的值域的求法，同時考查了存在性問題的處理方法，屬于基礎題．