Question

已知F₁ F₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點，若橢圓上存在一點P使得∠F₁PF₂=

π

3

，則橢圓的離心率e的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)P為橢圓上一個動點，則當動點P在橢圓長軸端點處沿橢圓弧向短軸端點運動時，P對兩個焦點的張角∠F₁PF₂漸漸增大，當且僅當P點位于短軸端點P₀處時，張角∠F₁PF₂達到最大值．由此可根據(jù)題意得：在Rt△P₀OF₂中，∠OP₀F₂≥30°，所以
P₀O≤

3

OF₂，代入數(shù)據(jù)化簡，可得a²≤4c²，即

c2

a2

≥

1

4

，最后結(jié)合橢圓離心率e=

c

a

∈（0，1），可得到該橢圓離心率e的取值范圍．

解答： 解：如圖，當動點P在橢圓長軸端點處沿橢圓弧向短軸端點運動時，P對兩個焦點的張角∠F₁PF₂漸漸增大，當且僅當P點位于短軸端點P₀處時，
張角∠F₁PF₂達到最大值．由此可得：
∵存在點P為橢圓上一點，使得∠F₁PF₂=60°，
∴△P₀F₁F₂中，∠F₁P₀F₂≥60°，可得Rt△P₀OF₂中，∠OP₀F₂≥30°，
所以P₀O≤

3

OF₂，即b≤

3

c，其中c=

a2-b2

，
∴a²-c²≤3c²，可得a²≤4c²，即

c2

a2

≥

1

4

，
∵橢圓離心率e=

c

a

，且a＞c＞0，
∴

1

2

≤e＜1，
故答案為：[

1

2

，1）．

點評：本題根據(jù)橢圓上一點對兩個焦點的張角大于或等于60度，求橢圓離心率的取值范圍，著重考查了直角三角形的三角函數(shù)和橢圓的簡單幾何性質(zhì)等知識點，屬于基礎(chǔ)題．