Question

（2008•揚州二模）已知二次函數f（x）=x²-2x+6，設向量a=（sinx，2），b=（2sinx，

1

2

），c=（cos2x，1），d=（1，2）．當x∈[0，π]時，不等式f（a•b）＞f（c•d）的解集為

（

π

4

，

3π

4

）

．

Answer 1

分析：由已知中二次函數f（x）=x²-2x+6，根據二次函數的圖象和性質，我們可以分析出f（x）在（1，+∞）內單調遞增，由向量數量積公式，及已經中各向量的坐標，我們易判斷出

a

•

b

≥1，

c

•

d

≥1，進而將f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

）可化為

a

•

b

＞

c

•

d

，結合三角函數的性質及x∈[0，π]，可求出不等式的解集．

解答：解：∵二次函數f（x）=x²-2x+6，
∴f（x）圖象關于x=1對稱，
∴f（x）在（1，+∞）內單調遞增．
又∵

a

•

b

=2sin²x+1≥1，

c

•

d

=cos²x+1≥1，
則f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

）可化為

a

•

b

＞

c

•

d

，
即2sin²x+1＞2cos²x+1，
又∵x∈[0，π]，
∴x∈（

π

4

，

3π

4

）．
故不等式的解集為（

π

4

，

3π

4

）．
故答案為：（

π

4

，

3π

4

）．

點評：本題考查的知識點是一元二次不等式的應用，二次函數的圖象和性質，平面向量的數量積公式，三角函數的圖象和性質，其中根據二次函數的圖象和性質分析出f（x）在（1，+∞）內單調遞增進而將f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

）可化為

a

•

b

＞

c

•

d

是解答本題的關鍵．