Question

點(diǎn)A（4，-2），F(xiàn)為y²=8x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上移動(dòng)，當(dāng)MA+MF取最小值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先由拋物線的方程求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，把x=4代入拋物線方程判斷A點(diǎn)在拋物線內(nèi)部，設(shè)M在拋物線準(zhǔn)線方程上射影為M′，根據(jù)拋物線的定義可知|MA|+|MF|=|MA|+|M′M|，分析M′，M，A三點(diǎn)共線時(shí)，|MA|+|M′M|的值最小，求得其最小值，進(jìn)而求得|MA|+|MF|取最小值．

解答： 解：由拋物線方程可知，2p=8，
∴拋物線的焦點(diǎn)F（2，0），準(zhǔn)線方程為x=-2，
設(shè)M在拋物線準(zhǔn)線方程上射影為M′，
∵點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離與M到焦點(diǎn)距離相等，
∴|MA|+|MF|=|MA|+|M′M|，
當(dāng)x=4，代入拋物線方程求得y=±4

2

，
∴AD點(diǎn)拋物線的內(nèi)部，
當(dāng)M′，M，A三點(diǎn)共線時(shí)，|MA|+|M′M|的值最小，此時(shí)|MA|+|M′M|=|AM|=6
此時(shí)M的縱坐標(biāo)為-2，x=

1

2

，即M的坐標(biāo)為（

1

2

，-2）
故答案為：（

1

2

，-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的基本性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是利用拋物線的定義．