Question

9．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，若a₁=1，且S_n=ta_n-$\frac{1}{2}$，其中n∈N*．
（1）求實數t的值和數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足b_n=log₃a_2n，求數列{$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由當n=1時，a₁=S₁=ta₁-$\frac{1}{2}$，由a₁=1，即1=t-$\frac{1}{2}$，即可求得t的值，S_n=$\frac{3}{2}$•a_n-$\frac{1}{2}$，當n≥2時，S_n-1=$\frac{3}{2}$•a_n-1-$\frac{1}{2}$，a_n=S_n-S_n-1，整理得：a_n=3a_n-1，數列{a_n}是以1為首項，以3為公比的等比數列，根據等比數列的通項公式求得數列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）可知：b_n=log₃a_2n=log₃3^2n-1=2n-1，$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），利用“裂項法”即可求得數列{$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$}的前n項和T_n．

解答 解：（1）當n=1時，a₁=S₁=ta₁-$\frac{1}{2}$，由a₁=1，即1=t-$\frac{1}{2}$，
解得：t=$\frac{3}{2}$，
∴S_n=$\frac{3}{2}$•a_n-$\frac{1}{2}$，
當n≥2時，S_n-1=$\frac{3}{2}$•a_n-1-$\frac{1}{2}$，
∴a_n=S_n-S_n-1=（$\frac{3}{2}$•a_n-$\frac{1}{2}$）-（$\frac{3}{2}$•a_n-1-$\frac{1}{2}$），即a_n=3a_n-1，
∴數列{a_n}是以1為首項，以3為公比的等比數列，
∴a_n=a₁•q^n-1=3^n-1，
當n=1時，a_n=3^n-1，成立，
∴數列{a_n}的通項公式a_n=3^n-1；
（2）由（1）可知：b_n=log₃a_2n=log₃3^2n-1=2n-1，
$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
數列{$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$}的前n項和T_n，T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$），
=$\frac{n}{2n+1}$，
數列{$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$}的前n項和T_n=$\frac{n}{2n+1}$．

點評 本題考查等比數列通項公式，考查“裂項法”求數列的前n項和，考查對數的運算性質，考查計算能力，屬于中檔題．