Question

甲、乙兩地相距1000km，貨車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過80km/h，已知貨車每小時的運輸成本（單位：元）由可變成本和固定成本組成，可變成本是速度平方的

1

4

倍，固定成本為a元．
（1）將全程運輸成本y（元）表示為速度v（km/h）的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；
（2）為了使全程運輸成本最小，貨車應(yīng)以多大的速度行駛？

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間，根據(jù)貨車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成，可得全程運輸成本，及函數(shù)的定義域；
（2）利用基本不等式可得，然后分類討論．

解答： 解：（1）依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為

1000

v

，
全程運輸成本為y=

1000

v

(

1

4

v2+a)，即y=1000（

1

4

v+

a

v

），定義域為（0，80]，
（2）依題意知a，v都為正數(shù)，故有1000（

1

4

v+

a

v

）≥1000

a

，當(dāng)且僅當(dāng)

1

4

v=

a

v

，即v=2

a

時，等號成立，
①若2

a

≤80，即0＜a≤1600時，則當(dāng)v=2

a

時，時，全程運輸成本y最�。�
②若2

a

＞80，即a＞1600時，則當(dāng)v∈（0，80]時，有y′=1000（

1

4

-

a

v2

）＜0．
∴函數(shù)在v∈（0，80]上單調(diào)遞減，也即當(dāng)v=80時，全程運輸成本y最小，
綜上知，為使全程運輸成本y最小，當(dāng)0＜a≤1600時行駛速度應(yīng)為v=2

a

時千米/時；當(dāng)a＞1600時行駛速度應(yīng)為v=80千米/時．

點評：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查基本不等式的運用，考查導(dǎo)數(shù)知識，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建函數(shù)模型，利用基本不等式求最值．