Question

1．已知f（x）=$\frac{e^x}{{{x^2}+a}}（{a＞0}）$的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x₁，x₂（x₁＜x₂），則a（lnx₁+lnx₂）的取值范圍是（　�。�

• A． $[{-\frac{1}{e}，0}）$
• B． （0，+∞）
• C． （0，1）
• D． $[{-\frac{1}{e}，+∞}）$

Answer 1

分析 f（x）=$\frac{e^x}{{{x^2}+a}}（{a＞0}）$的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{{e}^{x}（{x}^{2}-2x+a）}{（{x}^{2}+a）^{2}}$，可得方程x²-2x+a=0由兩個(gè)不等實(shí)根，△=4-4a＞0，⇒0＜a＜1．且x₁x₂=a，則a（lnx₁+lnx₂）=alna，（0＜a＜1．），利用導(dǎo)數(shù)求值域即可．

解答 解：f（x）=$\frac{e^x}{{{x^2}+a}}（{a＞0}）$的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{{e}^{x}（{x}^{2}-2x+a）}{（{x}^{2}+a）^{2}}$
∵f（x）=$\frac{e^x}{{{x^2}+a}}（{a＞0}）$的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x₁，x₂（x₁＜x₂），
∴方程x²-2x+a=0由兩個(gè)不等實(shí)根，△=4-4a＞0，⇒0＜a＜1．
且x₁x₂=a，∴a（lnx₁+lnx₂）=alna，（0＜a＜1．）
令g（a）=alna，（0＜a＜1．），g′（a）=lna+1，
令g′（a）=lna+1=0，得a=$\frac{1}{e}$，
當(dāng)a$∈（0，\frac{1}{e}$）時(shí)，g′（a）=lna+1＜0，a∈（$\frac{1}{e}$，1）時(shí)，g′（a）=lna+1＞0，
函數(shù)g（a）=alna，（0＜a＜1．）的圖象如下：函數(shù)g（a）的值域?yàn)閇-$\frac{1}{e}$，0）．
則a（lnx₁+lnx₂）的取值范圍是[-$\frac{1}{e}$，0）．
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的極值的概念及存在的充要條件、函數(shù)與方程思想，屬于中檔題．