Question

20．如圖，雙曲線k²x²-y²=1（k＞0）的兩條漸近線與圓（x+2）²+y²=5在x軸的上方交于A、B兩點(diǎn)．
（1）已知A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)x₁和x₂恰為關(guān)于x的方程（k²+1）x²+bx+c=0的兩個(gè)根，試求b、c的值；
（2）如果線段AB的長(zhǎng)為2，求雙曲線的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可知雙曲線的兩條條漸近線方程為：y=±kx，與圓聯(lián)立方程組，消y可得（k²+1）x²+4x-1=0，再根據(jù)A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)x₁和x₂恰為關(guān)于x的方程（k²+1）x²+bx+c=0的兩個(gè)根，即可求出b，c的值，
（2）由A（x₁，-kx₁），B（x₂，kx₂），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式和根與系數(shù)的關(guān)系可得k²=4，即可求出雙曲線的方程．

解答 解：（1）由題意可知雙曲線的兩條條漸近線方程為：y=±kx，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=±kx}\\{（x+2）^{2}+{y}^{2}=5}\end{array}\right.$，消y可得k²x²+（x+2）²=5，即為（k²+1）x²+4x-1=0，
又A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)x₁和x₂恰為關(guān)于x的方程（k²+1）x²+bx+c=0的兩個(gè)根，
∴b=4，c=-1，
（2）由A（x₁，-kx₁），B（x₂，kx₂），
∴|AB|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+{k}^{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}$=2，
∴（x₁-x₂）²+k²（x₁+x₂）²=4，
∴（1+k²）x₁²+（2k²-2）x₁x₂+（1+k²）x₂²=4，
即（1+k²）（x₁²+x₂²）+（2k²-2）x₁x₂=4
即（1+k²）（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4
由（1）可知x₁+x₂=$\frac{-4}{{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{-1}{{k}^{2}+1}$，
∴（1+k²）$\frac{16}{（{k}^{2}+1）^{2}}$+4×$\frac{1}{{k}^{2}+1}$=4，
即k²+1=5，
即k²=4，
∴雙曲線方程為4x²-y²=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．