Question

8．已知公差不為零的等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若S₁₀=110，且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足${b_n}=\frac{1}{{（{{a_n}-1}）（{{a_n}+1}）}}$，若數(shù)列{b_n}前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過首項和公差表示出S₁₀，a₁，a₂，a₄，進而利用條件聯(lián)立方程組，計算即可；
（Ⅱ）通過（I）的結(jié)論，利用裂項相消法即可求和．

解答 解析：（Ⅰ）由題意知：$\left\{{\begin{array}{l}{a_2^2={a_1}{a_4}}\\{{S_{10}}=110}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{{{（{{a_1}+d}）}^2}={a_1}（{{a_1}+3d}）}\\{10{a_1}+45d=110}\end{array}}\right.$…..…（4分）
解得a₁=d=2，
故數(shù)列a_n=2n；…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知${b_n}=\frac{1}{{（{2n-1}）（{2n+1}）}}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）$，…..（8分）
則${T_n}=\frac{1}{2}[{（{\frac{1}{1}-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}）+…+（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）}]$…..（10分）
=$\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{2n+1}}）=\frac{n}{2n+1}$…（12分）

點評 本題考查數(shù)列的通項與求和，考查裂項相消法，注意解題方法的積累，屬于基礎(chǔ)題．