Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x∈（-∞，0]}\\{{x}^{2}+2ax+1，x∈（0，+∞）}\end{array}\right.$，若函數(shù)g（x）=f（x）+2x-a有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-3）．

Answer 1

分析 判斷g（x）的單調(diào)性，求出g（x）的極值，根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)列不等式組解出a的范圍．

解答 解：g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}+2x-a，x≤0}\\{{x}^{2}+2（a+1）x+1-a，x＞0}\end{array}\right.$，
當(dāng)x≤0時(shí)，g（x）單調(diào)遞增，且g（x）≤g（0）=1-a，
當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）的對(duì)稱軸為直線x=-a-1，
（1）當(dāng)-a-1≤0即a≥-1時(shí)，g（x）在（0，2）上單調(diào)遞增，
∴g（x）不可能有3個(gè)零點(diǎn)，
（2）當(dāng)-a-1＞0即a＜-1時(shí)，g（x）在（0，-a-1）上單調(diào)遞減，在（-a-1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=-a-1時(shí)，g（x）取得極小值f（-a-1）=-a²-3a，
∵g（x）有3個(gè)零點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-a＞0}\\{-{a}^{2}-3a＜0}\end{array}\right.$，解得a＜-3．
綜上，a＜-3，
故答案為（-∞，-3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)單調(diào)性、極值的關(guān)系，函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于中檔題．