Question

6．投資生產(chǎn)某種產(chǎn)品，并用廣告方式促銷，已知生產(chǎn)這種產(chǎn)品的年固定投資為10萬元，每生產(chǎn)1萬件產(chǎn)品還需投入18萬元，又知年銷量W（萬件）與廣告費x（萬元）之間的函數(shù)關(guān)系為W=$\frac{kx+1}{x+1}$（x≥0），且知投入廣告費1萬元時，可多銷售2萬件產(chǎn)品，預(yù)計此種產(chǎn)品年銷售收入M（萬元）等于年成本（萬元）（年成本中不含廣告費用）的150%與年廣告費用50%的和．
（1）試將年利潤y（萬元）表示為年廣告費x（萬元）的函數(shù)；
（2）當(dāng)年廣告費為多少萬元時，年利潤最大？最大年利潤是多少萬元？

Answer 1

分析 （1）由已知中年銷量W（萬件）與廣告費x（萬元）之間的函數(shù)關(guān)系為W=$\frac{kx+1}{x+1}$（x≥0），投入廣告費1萬元時，年銷量為2萬件產(chǎn)品，代入可以求出k值，進而得到W的表達式，進而求出結(jié)合年銷售收入，結(jié)合年成本為10+18W+x，根據(jù)利潤=收入-成本，即可得到年利潤y（萬元）表示為年廣告費x（萬元）的函數(shù)；
（2）根據(jù)（1）中得到的函數(shù)解析式，換元，根據(jù)基本不等式，易得到年廣告費為多少萬元時，年利潤最大及對應(yīng)的最大年利潤是多少萬元．

解答 解：（1）∵W=$\frac{kx+1}{x+1}$（x≥0），且投入廣告費1萬元時，年銷量為2萬件產(chǎn)品，∴k=3，∴W=$\frac{3x+1}{x+1}$
年銷售收入M=$\frac{3}{2}$（10+18W）+$\frac{1}{2}$x，年成本為10+18W+x，
∴y=$\frac{3}{2}$（10+18W）+$\frac{1}{2}$x-（10+18W+x）=5+9×$\frac{3x+1}{x+1}$-$\frac{1}{2}$x，
（2）設(shè)t=x+1（t≥1），則y=$\frac{65}{2}$-（$\frac{18}{t}$+$\frac{t}{2}$）≤$\frac{65}{2}$-2$\sqrt{\frac{18}{t}•\frac{t}{2}}$=$\frac{53}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{18}{t}$=$\frac{t}{2}$，即t=6，x=5時，等號成立，
所以當(dāng)x=5時，y_max=$\frac{53}{2}$，
即當(dāng)年廣告費為5萬元時，年利潤最大，最大年利潤是$\frac{53}{2}$萬元．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，其中根據(jù)已知條件分別計算年銷售收入的表達式工，及年成本的表達式，進而根據(jù)利潤=收入-成本，得到年利潤的表達式是解答本題的關(guān)鍵．