如圖，在三棱錐中，，，設頂點在底面上的射影為．

（Ⅰ）求證:；

（Ⅱ）設點在棱上，且，試求二面角的余弦值．

 

【答案】

（1）根據(jù)題意，由于已知條件可知平面，那么利用線面垂直的性質(zhì)定理得到。

（2）

【解析】

試題分析：證明：（I）方法一：由平面得，

又，則平面，

故，  2分

同理可得，則為矩形，又，

則為正方形，故．  4分

方法二：由已知可得，設為的中點，則，則平面，故平面平面，則頂點在底面上的射影必在，故．

（II）方法一:由（I）的證明過程知平面，過作，垂足為，則易證得，故即為二面角的平面角， 7分

由已知可得，則，故，則，

又，則，  9分

故，即二面角的余弦值為． 11分

方法二: 由（I）的證明過程知為正方形，如圖建立坐標系，

則，

可得， 7分

則，易知平面

的一個法向量為，設平面的一個法向量為

，則由得， 9分

則，即二面角的余弦值為． 11分

考點：線面垂直的性質(zhì)定理以及二面角的大小

點評：主要是考查了線面垂直以及二面角的平面角的求解的運用屬于基礎題。

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在三棱錐中，，，，．

（Ⅰ）求證；

（Ⅱ）求二面角的大��；

（Ⅲ）求點到平面的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆廣西玉林市高二下學期三月月考文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，在三棱錐中，側(cè)面與側(cè)面均為等邊三角形，，為中點．

 （Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．    （本題12分）

 

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年浙江省臺州市高三上學期期末理科數(shù)學試卷 題型：解答題

如圖，在三棱錐中， 兩兩垂直且相等，過的中點作平面∥，且分別交于，交的延長線于．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.

 

 

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011---2012學年四川省高二10月考數(shù)學試卷 題型：解答題

如圖：在三棱錐中，已知點、、分別為棱、、的中點.

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）若，，求證：平面⊥平面.

 

 

 

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科目：高中數(shù)學 來源：黑龍江省2013屆高一下學期期末考試數(shù)學（理） 題型：解答題

如圖，在三棱錐中，，為中點。（1）求證：平面

（2）在線段上是否存在一點，使二面角的平面角的余弦值為？若存在，確定點位置；若不存在，說明理由。

 

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