20．已知f（x）=xlnx，其中x∈（0，e]（e是自然常數(shù)）．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性并求出其極小值；
（Ⅱ）若存在x0∈（0，e]，使f（x0）≤a，求a的范圍．

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極小值即可；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的最小值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=lnx+1，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{e}$，
故f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）遞減，在（$\frac{1}{e}$，e]遞增；
故f（x）極小值=f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：x∈（0，e]時(shí)，f（x）min=-$\frac{1}{e}$，
故a≥-$\frac{1}{e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

10．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a1=1，a5=5，等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和${S_n}=2-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}，（n∈{N^*}）$．
（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）若cn=anbn（n=1，2，3，…），Tn為數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和，求Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

11．某養(yǎng)豬廠建造一間背面靠墻的長(zhǎng)方形豬圈，已知豬圈地面面積為18平方米，將豬圈分割成（如圖所示）六個(gè)小豬圈，豬圈高度為1米，豬圈每平方米的造價(jià)為500元，且不計(jì)豬圈背面和地面的費(fèi)用與豬圈的厚度，問(wèn)怎樣設(shè)計(jì)總造價(jià)最低，最低造價(jià)是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

8．已知向量$\overrightarrow a=（1，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow b=（cosx，sinx）$，函數(shù)$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b-1$．
（1）若f（x）=0，求x的集合；
（2）若$x∈[0，\frac{π}{2}]$，求f（x）的單調(diào)區(qū)間及最值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

15．設(shè)函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），f（x）＞0恒成立，且有2f（x）＞xf′（x）+x，則當(dāng)x＞0時(shí)，下列不等關(guān)系一定正確的是（　�。�
A．4xf（x2）≤x4f（2x）B．e2xf（$\frac{1}{x}$）≥$\frac{1}{{x}^{2}}$f（ex）
C．xf（$\sqrt{x}$）≤f（x）D．4xf（x+1）≤（x2+2x+1）f（2$\sqrt{x}$）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

5．設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镈，若對(duì)于任意x1，x2∈D，當(dāng)x1+x2=2a時(shí)，恒有f（x1）+f（x2）=2b，則稱點(diǎn)（a，b）為函數(shù)y=f（x）圖象的對(duì)稱中心．研究函數(shù)f（x）=x+sinπx-3的某一個(gè)對(duì)稱中心，并利用對(duì)稱中心的上述定義，可得到$f（\frac{1}{2017}）+f（\frac{2}{2017}）+f（\frac{3}{2017}）+…+f（\frac{4032}{2017}）+f（\frac{4033}{2017}）$的值為（　�。�
A．-4033B．4033C．8066D．-8066

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

12．已知$tan（{x+\frac{π}{4}}）=\frac{1+tanx}{1-tanx}$，y=tanx的周期T=π，函數(shù)y=f（x）滿足$f（{x+a}）=\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$，x∈R，（a是非零常數(shù)），則函數(shù)y=f（x）的周期是4|a|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

9．已知P，A，B是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$上不同的三點(diǎn)，且A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若直線PA，PB的斜率乘積${k_{PA}}•{k_{PB}}=\frac{3}{4}$，則該雙曲線的離心率是（　�。�
A．2B．$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$C．$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$D．$2\sqrt{2}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

10．函數(shù)$f（x）={2^x}+xln\frac{1}{4}$在區(qū)間[-2，2]上的最大值為（　�。�
A．$\frac{1}{4}+4ln2$B．4（1-ln2）C．2（1-ln2）D．4（2ln2-1）

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