Question

3．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點（異于A、B），AD與過點C的切線互相垂直，垂足為D，AD交⊙O于點P，過點B的切線交直線DC于點T．
（Ⅰ）證明：BC=PC；
（Ⅱ）若∠BTC=120°，AB=4，求DP•DA的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AC，BP，利用直徑所對的圓周角為直角，圓的切線的性質(zhì)，證明∠CBP=∠CPB，即可證明：BC=PC；
（Ⅱ）求出AC=2$\sqrt{3}$，DC=$\sqrt{3}$，利用切割線定理求DP•DA的值．

解答 （Ⅰ）證明：連接AC，BP，
∵AB是半圓O的直徑，C為圓周上一點，∴∠ACB=90°，
即∠BCT+∠ACD=90°，
又∵AD⊥DC，∴∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠BCT=∠DAC，
又∵直線DT是圓O的切線，∴∠CPB=∠BCT，
又∠DAC=∠CBP，∴∠CBP=∠CPB，∴BC=PC．----------（5分）
（Ⅱ）解：由題意知點A，B，T，D四點共圓，∴∠DAB=60°，
∴∠DAC=∠CAB=30°，
∴AC=2$\sqrt{3}$，DC=$\sqrt{3}$
∴DP•DA=DC²=3--------------（10分）

點評 本題考查圓的切線的性質(zhì)，考查切割線定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．